Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Datenanalyse

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4. SemesterVO – 4 ECTS
Vortragende(r): {{#arraymap:von der Linden, Wolfgang|; |@@@@|@@@@}}
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Prüfungsbeispiele

Wahrscheinlichkeit

Die drei Definitionen, Vorteile/Nachteile der einzelnen Definitionen

Definitionen: Mittelwert, Varianz, Standardabweichung, Kovarianz

Verteilungen

Normalverteilung: Aufschreiben der Normalverteilung, \sigma^{2}, \mu Wenn \mu, \sigma für alle x_{i} gleich:

p(x|\mu,\sigma)=\prod \limits_{i=1}^{N} p(x_{i}) \rightarrow \prod\limits_{i=1}^{N} \exp(-\frac{(x_{i}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})= \exp(-\sum\limits_{i=1}^{N} \frac{(x_{i}-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}})

Herleitung der Binomialverteilung

Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus Kapitel 9

Aufschreiben der Exponentialverteilung.

Gleichverteilung, Gammaverteilung, Betaverteilung

Poisson-Prozess

Poisson-Punkte, Dichte \rho=\frac{N}{L}, Wahrscheinlichkeit p=\frac{\rho}{L}, Um welche Verteilung handelt es sich?

→ Binomial, Aufschreiben (mit obigem p), Erwartungswert und Varianz

Verteilung für die Intervalllängen beim Poisson-Prozess

Zentraler Grenzwertsatz

Voraussetzungen: identisch unabhängig verteilt

Aussage des zentralen Grenzwertsatzes

Erwartungswert und Varianz: \langle S \rangle=\mu\sum c_{n}, var(S)=\sigma^{2}\sum c_{n}^{2}

Spezialfall: S=\frac{1}{N}\sum x_{n} \rightarrow \langle S \rangle=\mu,
var(S)=\frac{1}{N}

Stirling-Formel

Was macht man, wenn man Maximum Likelihood eines Ausdrucks bestimmen soll, in dem n! oder ln(n!) vorkommt? → Wenn man dabei nach n ableiten muss, dann kann man n! bzw. ln(n!) zunächst durch die Stirling-Formel annähern, dann ist die Ableitung kein Problem mehr)

Aufschreiben der Stirling-Formel

Transformations - Invarianz - Prinzip (TIP)

Warum liefern beim Bertrand Paradoxon verschiedene Ansätze unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten? → Transformation-Invarianz, Erklärung des Begriffs Transformations-Invarianz.

Umformen

Wie kann man folgende Wahrscheinlichkeiten umformen: P(a \wedge b|c), P(a \vee b|c)

Varianz

Welche Bedeutung hat die Formel var(\bar{x})=\frac{var(x)}{N} ?

Bayessches Theorem

Rechnen eines einfachen Beispiels, wo das Bayessche Theorem angewendet wird. (Urne und Kugeln)

Was bedeuten Prior, Likelihood? Was ist der Normierungsnenner?

Shannon-Entropie

Maximum-Likelihood

Prinzip der Maximum-Likelihood-Methode

Was macht man, wenn man Daten t_{i} gegeben hat, die \frac{1}{\tau}\exp(\frac{-t_{i}}{\tau}) genügen und man den Parameter t bestimmen möchte? → Maximum Likelihood-Methode, Durchrechnen eines Beispiels (siehe Skriptum 20.2.2, Seite 272)

Least Squares

Wann ist der Least-Squares-Fit äquivalent zur Maximum Likelihood-Methode? → Wenn Zufallsgrößen normalverteilt sind. Wann darf man den Least-Squares überhaupt verwenden? Hinschreiben wie die Formel ausschaut.

Parameterschätzen

Beispiel einer Parameterschätzung erklären: Es soll überprüft werden, ob sich ein Widerstand linear verhält, Spannung/Strom=x/y

Voraussetzungen: x-Werte dürfen keine oder im Vergleich zu y nur sehr kleine Fehler aufweisen.

Welchen Hypothesentest würden Sie hier anwenden? →\chi^{2}-Test.

Hypothesentests

Grundsätzliche Vorgehensweise bei einem Hypothesentest.

Wie kann man überprüfen ob Daten einer Verteilung (z.B. Poisson) genügen? →\chi^{2}-Test.

Aufschreiben der \chi^{2}-Verteilung und Aufzeichnen der Form.

Was muss man beachten wenn der wahre Mittelwert \mu nicht bekannt ist und nur aus der Probe geschätzt wird? → Anzahl der Freiheitsgrade um 1 verringern. (N in der \chi^{2}-Verteilung = Anzahl der Freiheitsgrade)

Prüfung vom 27.06.2012

Ich möchte hier ausschließlich auf die Prüfungsfragen sowie den Prüfungsstil eingehen und auf Antworten verzichten. Dies hat einerseits Faulheitsgründe, andererseits will ich vermeiden dass falsche Information in Umlauf gerät.

Wie auch bei anderen Prüfungen war Prof. VdL wie gewohnt ruhig und professionell.

  • "Wir haben eine Urne mit einem bestimmten Anteil von schwarzen und gelben Kugeln. Wie groß ist die Whsk. dafür, in einer Stichprobe eine gewisse Anzahl an gelben Kugeln zu finden?"
  • "Jetzt haben wir eine Urne, deren Farbanteile nicht bekannt sind. Wir entnehmen eine Stichprobe. Was können wir über die Anteile der Farben aussagen? Berechnen Sie." Wir sprangen ein wenig zwischen diesen ersten beiden Fragestellungen hin und her, um die Verbindungen aufzuzeigen, wann Schätzwerte in wahre Werte übergehen usw.
  • "Was sagt diese Verteilung aus (*zeigt auf die Binomialverteilung von Frage 1*), wenn wir diesen Teil (*verdeckt mit der Hand den Binomialkoeffizienten*) weglassen?"
  • "Was ist der Mittelwert und die Varianz? Was sagt beides aus? Wie werden sie berechnet?"
  • "Uns ist lediglich der Mittelwert einer Messreihe bekannt. Welche Aussagen können wir über die Whsk.-Vert. treffen? Schreiben Sie die Verteilung auf."
  • Dann war irgendetwas mit Bernoullis Gesetz der großen Zahlen, Annäherung an den wahren Wert, kann mich aber kaum daran erinnern.
  • "Berechnen Sie mir die Charakteristische/Erzeugende Funktion dieser Verteilung (*zeigt auf Verteilung von Frage 5*)." Dann prüfte er mich einige Spielereien der Fouriertransformierten ähnlich wie: "Welche Auswirkungen haben Rechenoperationen im Fourierraum auf die Verteilung im Definitionsraum". Und zu rechnen gab es Teile des selben Beispiels wie wir es in den Übungen zu rechnen hatten. (Blatt 6/Aufgabe 1, SS2012; "Charakteristische Funktion - Exponentialverteilung")
  • "Wir haben den Messdaten eines Experiments eine Wahrscheinlichkeitsverteilung zugewiesen. Wie würden sie die Sinnhaftigkeit dieser Zuweisung überprüfen? Wie gehen Sie vor? Welche Fehler/Komplikationen können auftreten? Welche Rolle spielt dabei das Signifikanzniveau?"
  • "Was ist die Chi-Quadrat-Verteilung? Schreiben und zeichnen Sie sie auf. Was wird dabei aufgetragen? Woher kommen diese Werte? Was hat es mit den Freiheitsgraden auf sich?"
  • (*Prof. zeichnet ein erfundenes Diagramm und trägt Messpunkte ein - sieht aus wie gestreute Messdaten einer linearen Abhängigkeit*). "Wie könnten Sie hier Parameterschätzung durchführen? Welches Verfahren verwenden Sie? Wären andere Verfahren besser geeignet? Wann kann es zu Problemen kommen?"

Allgemein zur Prüfung:

- Marginalisierungsregel ist unbedingt zu beherrschen. Er bat mich während der Prüfung mehrmals unbekannte Whsken. zu berechnen.

- Die Mathematik der Fouriertransformation sollte auch sitzen. Der Prof. stellt gerne Verbindungen und Brücken zwischen verschiedenen Bereichen der Theoretischen Physik her.

- Alle wichtigen Verteilungen sollte man ohne langes Nachdenken hinschreiben/zeichnen können. Meiner Meinung nach ist es sinnvoll alle Verteilungen aus dem Skriptum für die Prüfung zu lernen.

Prüfung vom 05.10.10

  • Urnenexperiment: Eine Urne mit schwarzen und weißen Kugeln, wie sieht die Wahrscheinlichkeit aus, eine Schwarze zu ziehen? - Binomialverteilung mit Mittelwert und Varianz wissen
  • Wie lässt sich das auf den Randomwalk anwenden, was ist die Wahrscheinlichkeit dafür an einer bestimmten Stelle anzukommen? 2k-N, was ist die Varianz davon, wie oft muss man den Versuch durchführen um auf diesen Wert zu kommen, was ist die Standardabweichung? Drift? - Eigentlich 1 zu 1 wie im Skriptum
  • Messpunkte mit Fehler, wie kann man die Parameter bestimmen? MaximumLikelihood erklären, warum logarithmieren (da die Einzelwahrscheinlichkeiten, wenn sie unkorreliert sind miteinander multipliziert werden, Logarithmieren macht daraus die Summe, Annahme: normalverteilt, hinschreiben, und durchführen→ Least Squares Verfahren
  • Wie kann man überprüfen. ob man die richtige Verteilung gewählt hat? Chi-Quadrat Test


Prüfung vom Pachler Michael am 02.09.08

1. Geben sind zb 6 Messdaten, und a ausgleichsgerade.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt 1 Meßpunkt ned auf der Gerade?
Das is die Wahrscheinlichkeit das 1 Meßpunkt weiter als 1 Standartabweichung entfernt ist also 1 - 0.68, also ca 1/3.
dann kann ma mit da binomialvormel n*p(1-p) =sigma^2die varianz ausrechnen.
und wenn man 6 Datenpunkte 6* 1/3 =2 also 2 können auserhalb liegen, und jetzt braucht ma noch a maß also die wurzel aus da varianz
des heist das 2+-sqrt(sigma^2), in unserem beispiel san also 2+-1 Punkt okay die nicht die gerade berühren.

2. Wie wäre die Wahrscheinlichkeit P wenn n Punkte ausserhalb liegen? das is die Binomialverteilung mit p=1/3. Mittelwert =n*p, und varianz.

erklären was die terme sin bei der binomialverteilung, und was is das ohne Binomialkoeffizienten? BETAVERTEILUNG
Wie schaut die beta Verteilung für diese Problem aus? (is ca so wie der erste graph)
Charakteristische größen Für maxima von verteilungen: entweder durch die lage des Mittelwertes
oder durch den Median
oder eben durch die koordinate des MAximums.
Wie berchnet man den Mittelwert und die Varianz wenn eine Wahrscheinlichkeits dichte gegeben is. ( die 2 formeln mit intergral)
Was ist eine Verteilungsfunktion? zb f(x) das is die Wahrscheinlichtkeit das die zufallsvariable Werte kleiner gleich x annimt.

3. Sin wieder zum ersten Beispiel gegangen, also Zb Unter einer Steuergröße wie der Spannung werden Experimente durchgeführt und

daten bestimmt (Stromwerte). Es gibt ein theoretisches Model was die Daten beschreibt.
Wie kann ich Testen ob das Theoretische Modell stimmt?
Chi quadrat Test, formel für die zufallsvariable, und wie so ein hypothesentest hald funktioniert, (fehler 1 /2 art, signifikanz niveau und so)

4. Poisonprozess

Wie ist die Wahrscheinlichkeit für n Punkte in einem Intervall?
Die Poissonverteilung. mittelwert, varianz
Wie sind die Intervalllängen verteilt?
Exponentiell. mittelwert varianz
Bei den beiden verteilung ist der Mittelwert = der standartabweichung.
Es wurde eine Zählexperiment durchgeführt und man hat als Zählrate gemessen N= 10000.
Wie kann ich den Wahren wert Abschätzen? Lambda= N+- sqrt(N) 10000+-100 wär das dan, und warum das geht.

5. Rückwärtswahrscheinlichkeit , da weis ich die aufgabenstellung nimmer genau

gegeben p(q|n,N,B) mit Bayes Umschreiben, und die einzelnen Therme erklären
bei meiner aufgabenstellung war nichts über den prior p(q|B) bekannt, also alles gschleichwahrscheinlich.
Dan sin wir nochmal auf den Graphen der Betafunktion zurück, Was Passiert wenn N sehr groß wird?
der Peak wird spitzer. Macht das in unserem Beispiel sin? ja ! den die relative Häufigkeit n/N geht für große N
gegen die Intrinsische Wahrscheinlichkeit q (Zentraler Grenzwertsatz).

6. Erzeugende Funktion der Poissonverteilung

Pn= Poissonformel für n erreignisse
Wie Sieht sie aus? phi(z)= summe(Pn* z^n) schauts am besten in den übungsbeispielen nach, i hab ka ahnung wie i das gscheid reinschreibe :)
Was geht damit sehr einfach? Momente berechnen.
Wie geht das zb für das erste Moment? Ableiten nach z und an der stelle z=1 Auswerten.
dan ist es ja grad Summe (n*Pn) =<n>

Das war im großen und ganzen alles, ich hoff es hilft euch was.

mfg michi


Prüfung vom 14.08.2008, Manuel

Die erste Prüfungsfrage war: ihm zuschauen wie er irgendwelche Schachteln herumschleppt. Die Fragen sind fast ident, aber zum Vergleich,kann ja nicht schaden. Ist ohnehin nicht neu, dass VDL nach einem fixen Schema vorzugehen scheint.

  1. Ausgehend vom Urnenproblem (er variiert!! Schwarze und weiße Kugeln, passend zum Bleistift). Wie krieg ich Wahrscheinlichkeit? Was ist Varianz und Mittlewert (allg.)?
    • Binomialverteilung. Definition.
  2. Wie sieht die aus, Erwartungswert, Varianz, welche Verteilung ist das ohne Binomialkoeffizient?
    • q*n, q*n*(1-q), Beta-Verteilung, nicht normiert.
  3. Wie sieht die Betaverteilung aus, was passiert bei n gegen unendlich?
    • gaußähnlich, Peak wird schärfer, der Wert q geht gegen den unverzerrten Schätzwert: relative Häufigkeit
  4. Zurück zur Urne: Wie krieg ich die Wahrscheinlichkeit für eine Urne, deren q ich nicht weiß?
    • Binomi ist Likelihood, über Bayes und Marginalisierung, Normierung
    • Ein bisschen über Priore und Bertrand-Paradoxon gequatscht, hier eine flache Dichte.
  5. Erzeugenden Funktionen, Binomial.
    • Der mathematische Schmäh mit den Ableitungen (zB. beim Beweis für Binomialverteilungsmittelwert).
  6. Zentraler Grenzwertsatz, was passiert bei unendlich großer Stichprobe?
    • Formeln.
    • Varianz gegen Null, Mittelwert der Stichprobensumme (arithm. Mittel) gegen wahren Mittelwert, unverzerrter Wert
  7. Parameterschätzen-LSF
    • Die Formel halt (minimieren der Summe) und wann ist LSF äquivalent zu log-Maximum Likelihood.
  8. Messwert hängt von Steuervariable ab und 2 Parametern a und b. Wie kann ich prüfen, ob das einer Verteilung genügt?
    • Hypothesentest
  9. Wie gehst du dabei vor?
    • Eben unseren bekannten Chi-Quadrat-Test.
    • Ist hier ein zusammengesetzter Hypothesentest, also 2 Parameter bestimmen: a,b.
    • Verringerung der Freiheitsgrade um 2.
    • Signifikanzniveau, stat. Fehler 1. und 2. Art, Verwerfen der Hypothese, usw...
  10. Wie sieht die denn Chi-Quadrat-Verteilung aus?
    • Aufzeichnen, Zusammenhang Exponential und Gammaverteilung.
  11. Kommt woher?
    • Chi-Quadrat-Statistik aus Stichprobenverteilung der Varianz.
  12. Ich habe 2 Formeln, Mittelwert (kontinuierlilch) einer Zufallsvariable und Normierung einer Wahrscheinlichkeitsdichte. Wie kieg ich die Dichte als Funktion von Zufallsvariable?
    • Prior bestimmen- MaxEnt, weil Nebenbedingung.
    • Aufstellen der Lagrangefunktion, ableiten, null setzen, Maxentlösung erhalten.
    • (Kontinuierliche Shannon-Entropie mit Maß wissen).
    • Ich hab beim ableiten gemurkst, peinlicht, peinlich...

      Hab im Groben so alles gewusst, bei dem Peak mit der Betaverteilung hat er mich erwischt, die erzeugenden Funktion wusste ich nicht mehr und dann das goldene Finale mit dem einfache Sachen nicht ausrechnen können. Er hat dann gemeint, ob ich mit Gut zufrieden bin. Ich hab ihm eiskalt hingeworfen: Nein! Er soll mir noch eine Frage stellen. Er war einverstanden, nur halt ohne Publikumsjoker.
  13. Poissonprozess, beim Zerfall, wie sind die Zeitintervalle verteilt?
    • Exponential.
  14. Mittelwert und Varianz? Wie sieht das mit Poissonpunkten aus, wie hängt das mit unserem Intervall zusammen?
    • Am besten das Skript aufschlagen und das ganze Kapitel Poisson-Prozess durchlesen, mit dem Satz von Poisson
    • und so weiter.

Er hat mir dann noch eine Eins gegeben, also er ist wirklich sehr nett und kommt dem Studenten entgegen bei der Benotung. Bei ihm hat man schon fast ein schlechtes Gewissen, wenn man etwas nicht weiß.

Prüfung vom 24.07.2008

Vorbemerkung

Ich wäre gerne Christophers Beispiel gefolgt und hätte die Fragen durchnummeriert, da diese aber immer im Kontext der jeweiligen Prüfung stehen und ich nicht so viel Zeit hatte zu vermeiden, dass ich bereits Gesagtes nur wiederhole, habe ich einfach die gesamte Prüfung reingeschrieben. Wenn sich jemand die Arbeit antun will alles zu nummerieren, zu formatieren und etwaige doppelte Fragen zu löschen, bitte ich darum.

Prüfungsfragen

Urnenexperiment: geg.: 3 Urnen mit Anteilen q1,q2 und unbekannt; Stichprobe vom Umfang N wird gezogen; Frage: hinschreiben der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Anzahl der gelben Kugeln (Binomialverteilung); erklären, um welche Verteilung es sich handelt; wenn man inverses Problem behandelt: wie hat man vorzugehen (Bayessches Theorem); erklären, um welche Terme es sich handelt (Likelihood, Prior, Normierung), und wie die alle bestimmt werden

Wie geht man im Fall der dritten Urne vor, wo q nicht bekannt ist? (mit Marginalisierungsregel q ausintegrieren, hinschreiben der daraus resultierenden Formel)

Wie kann man prinzipiell Prioren zuweisen? (je nachdem ob uniformativ (TIP), oder ob Nebenbedingungen vorliegen (MaxEnt) usw.)

Wie lauten Mittelwert und Varianz der Binomialverteilung?

Um welche Verteilung handelt es sich bei der obigen Binomialverteilung, wenn man den Binomialkoeffizienten vorne weglässt? (Beta-Verteilung)

Wie sieht die Beta-Verteilung aus, wenn man N und n als sehr groß annimmt? (aufzeichnen; es handelt sich um den ersten der drei Fälle im Skriptum); Wie verändert sich die Verteilung wenn man N immer größer macht? (Peak wird immer schmäler)

Was würde man als Schätzwert für q angeben? (n/N, relative Häufigkeit)

Gegeben seien Daten eines Experiments in Anhängigkeit einer Steuergröße; ein Datenpunkt werde bw. 100 mal gemessen; was kann man gleich als Schätzwert angeben? (arithmetisches Mittel = Stichprobenmittelwert); wie ist dieses um den wahren Mittelwert verteilt? (normalverteilt; argumentieren mit zentralem Grenzwertsatz); was versteht man unter einem unverzerrten Schätzwert? Wie kann ich Varianz (meiner Messung) aus der Stichprobe abschätzen? (diese Formel mit 1/(N-1)*Summe usw. aufschreiben); Was liefert der zentrale Grenzwertsatz für die Varianz des arithmetischen Mittels (sigma^2/N) und was sieht man daraus? (geht mit zunehmendem Stichprobenumfang gegen 0, also arithm.Mittel unverzerrter Schätzwert)

Angenommen Fehler gaussverteilt; gegeben sei ein lineares Modell für die Daten mit zwei Parametern; wie kann ich diese bestimmen? (z.B. mit Least-Squares-Fit, da i.u. normalverteilte Fehler);

Legen Ausgleichsgerade durch die Daten, ein Datenpunkt liege mit Fehlerbalken nicht darauf; bedenklich? (Nein, hinschreiben wie man Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen kann, dass Datenpunkt mit Fehlerbalken auf Ausgleichsgerade liegt; folgt aus Integralsatz von de Moivre)

Wie kann ich feststellen, ob mein Modell überhaupt stimmt? (mittels orthodoxer Hypothesentests); Erklären, was man darunter versteht und wie man vorgeht (Signifikanzniveau usw.); welchen Test würde ich hier wählen? (Chi-Quadrat; auch ein bisschen über z-Test Bescheid wissen); aufschreiben der Formel für die Chi-Quadrat-Zufallszahl; wie ist diese verteilt (Chi-Quadrat-Verteilung, Form hängt von Anzahl der Freiheitsgrade ab); was muss man bedenken, wenn man Varianz und Mittelwert aus der Stichprobe bestimmt hat? (Zahl der Freiheitsgrade der Chi-Quadrat-Verteilung verringert sich um Anzahl der Nebenbedingungen; in diesem Fall also um zwei)

[Simon Gritschacher]

Prüfung am 10.07.2008 (Christopher Albert)

Wie schon seit Längerem versprochen, ist hier mein Prüfungsbericht. Nachdem mich Herr Professor von der Linden freundlich begrüßt hatte, ging es zur Sache:

Frage 1: Sie ziehen mit zurücklegen Kugeln aus einer Urne, die rote und blaue Kugeln enthält. Schreiben Sie die Verteilung der Anzahl an gezogenen roten Kugeln auf und erklären Sie die einzelnen Terme, wie heißt die Verteilung?

Antwort: Binomialverteilung, es muss k mal eine rote Kugel und (n-k) mal eine blaue gezogen werden und der Binomialkoeffizient ist die Anzahl an Umordnungen, da es auf die Reihenfolge nicht ankommt.

Zusatzfrage: Wie wäre das, wenn man die Kugeln nicht zurücklegt?

Antwort: Hypergeometrische Verteilung (wusste ich nicht auswendig, konnte die Formel aber herleiten).

Frage 2: Nehmen wir an, Sie hätten mehrere Urnen und wissen nicht, aus welcher Urne Sie ziehen. Wie gehen Sie vor?

Antwort: Bayessches Theorem, um an die Wahrscheinlichkeit für die Urnen zu kommen, Marginalisierungsregel, wenn unbekannte Urnen darunter sind.

Frage 3: Stichwort Poisson-Prozess, wie sind die Intervall-Längen zwischen Poissonpunkten und wie die Anzahl der Punkte verteilt?

Antwort: Exponentialverteilt bzw. Poissonverteilt (nona).

Frage 4: Schreiben Sie die Exponentialverteilung auf... und die Chi-Quadrat-Verteilung. Wofür wird die Chi-Quadrat-Verteilung verwendet?

Antwort: Aufschreiben, Chi-Quadrat ist ein Spezialfall der Exp.-Vert. mit n/2 und 1/2, wobei n die Anzahl der Freiheitsgrade beschreibt. Chi-Quadrat-Statistik kann eingesetzt werden, um Hypothesen zu testen z.B. ob Messwerte einer bestimmten Verteilung genügen.

Frage 5: Zeichnen Sie die Chi-Quadrat-Verteilung auf. Was versteht man unter dem Signifikanzniveau und dem statistischen Fehler erster und zweiter Art?

Antwort: Zeichnen, Signifikanzniveau einzeichnen, Fehler erklären.

Frage 6: Multivariante Normalverteilung, was ist, wenn die Variablen unabhängig voneinander sind?

Antwort: Aufschreiben, unabhängige Variablen: Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren sich einfach.

Soweit alles an was ich mich noch genau erinnern kann... Falls mir noch was einfällt, poste ich es hier. Bitte alle, die das lesen Fragen bei ihrer Prüfung eintragen, falls neue dazukommen, bitte weiternumerieren.

Notwendiges Wissen