Technische Thermodynamik und Statistische Physik

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5. SemesterVO – 8 ECTS
Vortragende(r): {{#arraymap:Würschum, Roland; von der Linden, Wolfgang|; |@@@@|@@@@}}
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Die Vorlesung Thermodynamik und statistische Physik wird nacheinander zuerst von Würschum, Roland (Thermodynamik) und danach von von der Linden, Wolfgang (statistische Physik) in einem Semester gelesen.

erster Teil: Thermodynamik

Prüfung 27.12.2008

Mal wieder ein Update, es hat sich nicht viel geändert ...

1.HS

  • Energieerhaltung
  • Isothermer Prozess, Arbeit
  • Rolle der Vorzeichen von Arbeit und Wärme in Bezug auf System

freie Expansion, Irreversible Prozesse

  • Irreversibler Prozess, freie Expansion - isoherm - ideales Gas, Ersatzprozess
  • Physikalisches Ergebnis diskutieren
  • Herleitung Gay-Lussac-Ergebnis über vollst. Diff.: U = U(T) [z.z.: Änderung der inneren Energie nach dem Volumen beim isothermen Prozess ist 0, siehe Skriptum 4.42 + ideales Gas]
  • Entropiebilanz Gay-Lussac
  • Exergie-Anergie, 2.HS

Thermodynamische Prozesse

  • Was ist Vorraussetzung für Kreisprozesse, dass sie funkionieren? ... genau: Temperaturunterschied >> 2.HS
  • Welche kennen Sie? Überblick
  • Genauer: Heißluftmotor mit Gasturbine (bei Adiabate Heizfläche oder Brennkammer, wie funktioniert das genau!)
  • Dazugehöriger Joule-Kreisprozess mit pV und TS-Diagramm (sehr genau!! mit 2' und 4', mathematisch: konvexe Kurven)
  • Wirkungsgrad ohne und mit Wärmerückführung, T2=T4' oder T2'=T4 >> Wirkungsgrad optimal, Wärmetransfer wann möglich?,...
  • Arbeit und Wärme aus Diagrammen beim Isobaren Prozess >> Enthalpiedifferenzen
  • Wie ist Wirkungsgrad definiert?

Potentiale

  • natürliche Variablen
  • Maxwell-Relationen, Viereck (ist immer wieder nützlich)
  • Differenzial freie Enthalpie, G = U - TS + pV ableiten und mit dU vergleichen

>> für Interessierte: mit Gibbs-Duhem-Relation vergleichen

Heterogene Systeme

  • chemisches Gleichgewicht am Beispiel 2 Phasen, chemische Potentiale gleichsetzen
  • Folgerungen daraus:
    1. Maxwell-Konstruktion,
    2. Clausius-Clapeyron (Formel mit Entropiedifferenz und die mit Verdampfungswärme, Verbindung \delta_{JS} = \delta{Q}/T )
    3. pT-Diagramme, Phasengleichgewichtskurven
    4. Bei Lösungen: Raoult, Henry-Dalton,...
  • Phasenübergang 1. Ordnung, latente Wärme
  • Phasenübergang 2. Ordnung, Ehrenfest und Realtität, Lambda-Übergänge
  • Diskontinuierlich vs. Kontinuierlich, TS-Diagramme
  • Ableitung der freien Enthalpie
    1. (aus vollst. Differenzial folgernd) = - S (...Entropie), einmal stetig und einmal nicht stetig, was heißt das?
    2. Interpretation mit latenter Wärme, wie ist Entropie definiert (bei nicht stetig)
    3. stetige Entropie bei 2. Ordnung, daraus folgernd kontinuierlich
  • Begriff: Universalität

Er macht während der Prüfung einen sehr, sehr strengen Eindruck, so dass man glaubt man fällt gerade durch und bei der Benotung: ja das war ganz solide, ganz GUT...

Prüfung Mi 13.12.2006

Haupsätze

  • Nullter (Gleichgewicht usw.)
  • Erster (Energieerhaltung, Wegunabhängig)
  • Zweiter (Aufpassen : Bei Isothermer Expansion wird zwar Wärme komplett in Mech. Arbeit umgewandelt das System wird aber verändert. Daher ist bei dieser Zustandsänderung die Umwandlung von Wärme in mech. Energie nicht die einzige Wirkung)
  • Dritter wurde nicht gefragt.

Joule-Thomson Effekt

  • Isenthalpe
  • Joule Thompson Koeffizient
  • Aufzeichnen der Inversionskurve (T über P; Aufpassen die Linien sind die Isenthalpen und die Inversionkurve geht durch die Maxima)
  • Warum gibt's beim Van der Waals Gas 2 Inversionstemp./Druck ? quadratisch
  • Wie schauen die Isenthalpen beim idealem Gas aus ? Konstant da die Enthalpie vom idealem Gas nur von der Temperatur abhängt. Daher bleibt beim Joule-Thomson Effekt die Temperatur bei idealem Gas konstant.
  • Wieso ist die Expansion irreversibel ? Druckdifferenz. Daher werden keine Gleichgewichtszustände durchlaufen.

Joule-Thomson Prozess

  • Aufzeichen
  • Wie schauen die Wirkungsgrade mit/ohne Wärmerückführung aus ?
  • Bei welchem Prozess braucht man einen Regenerator ? Stirling
  • Kann T4 < T2 sein ? Ja. Aber nicht gut weil sonst keine Wärmerückführung daher niedriger Wirkungsgrad.

Kühlung Adiabatische Entmagnetisierung

  • Vergleich mit isobarer; adiabatischer Kühlung
  • Welche Bedingung fürs Kühlen ? dm/dt < 0
  • Wie komme ich auf diese Bedingung ? Integrabilitätsbedingung
  • Curie Gesetz

Osmotischer Druck

  • Chemisches Gleichgewicht
  • Gesetz Van't Hoff
  • Massenwirkungsgesetz

Entropie

  • Wie schaut sie aus ?
  • Entropie bei isobarer bzw. isothermer Expansion ?
  • Gay Lussac

Gemütliche Prüfung aus der man viel lernt. Verständnis und P/V bzw. T/S Diagramme sind sehr wichtig.

Prüfung Mi 18.12.2006

  • 1. HS: Aussage, Folgerungen. Warum U wegunabhängig? → Energieerhaltung, Perpetuum Mobile 1. Art
  • 2. HS: Reversible, Irreversible Prozesse, reversible Ersatzprozesse, warum verstößt isotherme Zustandsänderung nicht gegen 2. HS? → System verändert, da reversibler Prozess.
  • Zu Irreversiblen: Beispielprozesse (Gay - Lussac → keine Arbeit gegen Vakuum, Joule - Thomson bzw. Linde - verfahren → Druckdifferenz ist Ungleichgewicht)
  • Weiterführend: Joule Thomson: Wie kann man bei irreversiblem Prozess überhaupt etwas berechnen? → reversibler Ersatzprozess (hier Isenthalpe). Aus dH = 0 → Ausdruck für \frac{dT}{dp} = \delta_{JT} mit \delta_{JT} dem Joule-Thomsonkoeffizient delta. Joule Thomson fü VDW - Gas: Inversionskurve (parabolisch im Tp Diagramm) + Isenthalpen (haben Max. in Schnittpunkt mit Inversionskurve, da dort per Def. \delta_{JT} = \frac{dT}{dp} = 0. Startvorraussetzung für Kühlung eines Gases (Temperatur muss unter Inversionstemperatur liegen). delta für ideales Gas? (= 0!!)
  • Mischungsentropie, GIBBS - DUHEM - Relation
  • Kreisprozesse: Welche gibt es? Was für Zustandsänderungen verwenden sie? Nähere Beschreibung Stirling Prozess (Regenerator! Von Regen. aufgenommene Wärmen sind Fläche unter Isochoren im TS - Diagramm)
  • adiabatische Entmagnetisierung: wie wird das thermodynamische System beschrieben? → Maxwellrelation. Welche Bedingung muss gelten, damit eine Kühlung erreicht wird → \frac{dM}{dT }< 0, bzw. Curie - Gesetz. Aus Maxwell: dS/dB = dM/dT. Warum aber ist dann Entmagnetisierung adiabatisch (dS = 0)?? → Entropie wird von Gitterschwingung (Temperatur) auf Entmagnetisierung (Unordnung der Elementarmagnete) umgeschichtet, die Gesamtentropie bleibt gleich!
  • Mehrphasige Systeme: GIBB'sche Phasenregel. Bedingungen für thermodynamisches Gleichgewicht (Achtung: chem. Gleichgewicht: chem. Potential der versch. PHASEN muss übereinstimmen, für versch. Teilchen müssen Reaktionen zugelassen werden).
  • Daraus folgernd: Gleichungen, die chem. Gleichgewicht ausnutzen: RAOULT, VAN'T HOFF, HENRY - DALTON

Generell gilt: Man sollte ein paar Formeln schon wissen, jedoch keine Herleitungen. Es reicht vollkommen, zu wissen, was man ungefähr verwendet, um auf die Gleichung zu kommen. Ansonsten wie oben schon beschrieben: sehr gemütlich, ca. 30 Min, kaum Schreibarbeit.

zweiter Teil: statistische Physik

Mitschrift WS 2008/09

Media:Statphys-mitschrift-1.pdf (pdf, 2MB)

Media:Statphys-mitschrift-2.pdf (pdf, 2MB)

Prüfung aus alten Studienplan

S=k\cdot\ln\Omega

  • Wozu braucht man kanonische Ensembles?
  • Was ist ein statistisches Ensemble?
  • Grundlegendes Postulat?
  • Mikrokanonische Zustandssumme für das ideale Gas herleiten! (Warum nur Kugelschale wichtig?)
  • Entropie und Temperatur. (Begründung der Definitionen für Entropie und Temperatur; warum log für Entropie?)
  • Herleitung für W(E_A) (Normalverteilung). Folgerungen: Energie pro Freiheitsgrad im linken System = Energie pro Freiheitsgrad im rechten System, Anzahl der Mikroszustände mit E_A=\bar{E_A} ist extrem hoch → Gleichgewicht ist durch ln(\Omega_A\Omega_B)=ln\Omega_A+ln\Omega_b = maximal definiert.
  • Verallgemeinerte Kräfte? (Wie kommt man von der ersten Definition auf die zweite?)
  • Herleitung der kanonischen Zustandssumme. (Aufteilung der Zustände begründen, warum sieht Wahrscheinlichkeit gerade so aus?)
  • Herleitung F=-Kb T ln Z
  • Herleitung der großkanonischen Zustandssumme. Thermodynamische Potentiale (S, F, J)? Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung.
  • Was muss man beim Quantengas zusätzlich beachten (Unterschiede Bosonen - Fermionen; halb-, ganzzahlige Spins, Symmetrien der Wellenfunktion)
  • Bose-Statistik, Fermi-Statistik
  • Skizzieren der Zustandssumme für das Fermi-Gas. (Aufschreiben und erklären, warum man summieren muss.)

Warum verwendet man die großkanonische und nicht die kanonische Zustandssumme → einfacher zu rechnen, Summe wäre komplizierter: In der großkanonischen Zustandssumme wird über alle Besetzungszahlen von N=0 Teilchen bis unendlich viele Teilchen summiert. In der kanonischen Zustandssumme ist aber N vorgegebn. Wenn man also z.B. N=10 Teilchen hat, dann dürfen nur 10 Besetzungszahlen 1 sein und man müsste dann die Summen durchpermutieren, sodass alle Fälle berücksichtigt werden. Bei der großkanonischen Summe ist dies nicht notwendig und man kann bei gegebener fester Teilchenzahl N das entprechende \mu aus der Gleichung N=\sum\limits_r P_r N_r bestimmen.)

Wie kann man eine Zustandssumme numerisch berechnen: Extrem hohe Energien sind unwahrscheinlich. Das zeigt sich im Boltzmannfaktor e^{-\beta(E_r -\mu N_r)} welcher für hohe Energien extrem klein wird. Damit können diese Summanden vernachlässigt werden.

  • Überblick: Bose-Einstein-Kondensation.

Buchtipp: Walter Greiner: Statistische Mechanik und Thermodynamik. Ralf bzw. Toni

Prüfung vom 26.2.2007

  • Verknüpfung mikroskopische Betrachtung mit makroskopischer Betrachtung: S=k_B\cdot\ln\Omega
  • Herleitung dieser Formel
  • Plausibilitätserklärung, dass \ln\Omega zur phänomenologisch eingeführten Entropie korrespondieren kann (Drei Punkte: Maximum von W(E_A) = c \Omega_A(E_A) \Omega_B(E-E_A) bringt (fast) eine Energie  \bar{E_A} ; Die Anwendung von \ln auf \Omega macht die Entropie additiv; Die Suche nach dem Maximum von \ln W(E_A) bringt die Gleichgewichtsbedingung \frac{\bar{E_A}}{f_A} = \frac{\bar{E_B}}{f_B} (1). Mit \frac{\partial S}{\partial E} = \frac{1}{T} kann man zeigen, dass die Temperatur auch ein Maß für die Energie pro Freiheitsgrad ist und (1) ist die statistische Formulierung für die Notwendigkeit des thermischen Gleichgewichts für das thermodynamische Gleichgewicht.)
  • Unterschied zwischen idealem Gas und Quantengas (quantenmechnische Wellenfunktion und Folgerungen daraus)
  • Fermistatistik

Gregor

Prüfung vom 08.09.2008

  • Herleitung der Mikrokanonischen Zustandssumme
  • Wie kommt man von der Mikrokanonischen Zustandssumme auf die thermische und kalorische Zustandsgleichung (Über verallgemeinerte Kräfte, eingesetzt in S = k_b ln(\Omega)= k_b (N ln(V/N)+ \cdots))
  • Herleitung der kanonischen Zustandssumme, wie kommt man zu  P_r = \frac{\Omega_B(E-E_r)}{\Omega(E)} (günstige zustände durch mögliche Zustände, wobei die Zustände alle gleich wahrscheinlich sein müssen → Grundlegendes Postulat)
  • Herleiten  F = -k_bT ln(Z)

09.04.2009

  • Was sind verallgemeinerte Kräfte?-1.HS-Betrachtung mit Wahrscheinlichkeiten und Energiemittelwert
  • Was heißt quasistatisch? Kapitel quasistatischer Prozess und Kapitel verallgemeinerte Kräfte (Fließbach)
  • Herleitung der Formel für verallg. Kräfte (allgemein, also mit Zustandsumme)
  • Quantengas-Unterschiede zu klassischem-Ununterscheidbarkeit(klass: 1 durch N!, jetzt: Wellenfunktion)
  • Austauschsymmetrie Vielteilchensysteme,Symmetrie des Hamiltonoperators, Gleichartigkeit, Vertauschungsoperator, ... im Prinzip Kapitel Ideales Quantengas (Fließbach)-Begriffe genau verstehen und mit genau verstehen meine ich jenseits der Vorlesung Quantenmechanik I
  • Fermistatistik-Zustandssumme
  • Die Prüfung aus dem alten Studienplan ist mehr oder weniger Programm! Siehe Mitschrift, Fließbach schadet nicht!

06.08.2009

Identisch wie 09.04.2009 (!)

  • Fermi-Frage: Warum nehmen wir die großkanonische und nicht die kanonische Summe? (Anzahl der Summen = alle Permutationen für N bei kanonischer, bei großkanonische beliebiges N und damit keine Einschränkung an die Summe der Besetzungszahlen)
  • Bose-Einstein-Kondensation: Worum geht es, was passiert, warum geht Cv gegen 0. Überblick über die Herleitung (keine Rechnung)

27.11.2009

  • Herleitung der Zustandssumme des idealen Gases
  • Herleitung der großkanonischen Zustandssumme
  • Herleitung  J = -k_bT ln(Y)

8.1.2010

  • Herleitung der Zustandssumme des idealen Gases
  • Einleitung zu ideales Quantengas Kapitel mit Vertauschungsoperator etc. (Genau erklären!)
  • Herleitung großkanonisches Zustandssumme für Bosonen
  • Erklären, warum Y statt Z verwenden (Gesetz der großen Zahlen, RELATIVE Schwankung bei großer Teilchenzahl gering (offenes Fenster spielt also nur keine Rolle, wenn viele Teilchen im Raum)

Zusammenfassung der bisher gekommenen und hier (oben) veröffentlichten Fragen

  1. Wozu braucht man kanonische Ensembles?
  2. Was ist ein statistisches Ensemble?
  3. Grundlegendes Postulat?
  4. Mikrokanonische Zustandssumme für das ideale Gas herleiten! (Warum nur Kugelschale wichtig?)
  5. Entropie und Temperatur. (Begründung der Definitionen für Entropie und Temperatur; warum log für Entropie?)
  6. Herleitung für W(EA) (Normalverteilung). Folgerungen: Energie pro Freiheitsgrad im linken System = Energie pro Freiheitsgrad im rechten System, Anzahl der Mikroszustände mit ist extrem hoch Gleichgewicht ist durch ln(ΩAΩB) = lnΩA + lnΩb = maximal definiert.
  7. Plausibilitätserklärung, dass lnΩ zur phänomenologisch eingeführten Entropie korrespondieren kann (Drei Punkte: Maximum von W(EA) = cΩA(EA)ΩB(E − EA) bringt (fast) eine Energie ; Die Anwendung von ln auf Ω macht die Entropie additiv; Die Suche nach dem Maximum von lnW(EA) bringt die Gleichgewichtsbedingung (1). Mit kann man zeigen, dass die Temperatur auch ein Maß für die Energie pro Freiheitsgrad ist und (1) ist die statistische Formulierung für die Notwendigkeit des thermischen Gleichgewichts für das thermodynamische Gleichgewicht.)
  8. Verallgemeinerte Kräfte? (Wie kommt man von der ersten Definition auf die zweite?)
  9. Herleitung der Formel für verallg. Kräfte (allgemein, also mit Zustandsumme)
  10. Herleitung der kanonischen Zustandssumme. (Aufteilung der Zustände begründen, warum sieht Wahrscheinlichkeit gerade so aus?)
  11. Herleitung der kanonischen Zustandssumme, wie kommt man zu (günstige zustände durch mögliche Zustände, wobei die Zustände alle gleich wahrscheinlich sein müssen → Grundlegendes Postulat)
  12. Herleitung F=-Kb T ln Z
  13. Herleitung J=-k T ln Y
  14. Herleitung der großkanonischen Zustandssumme.
  15. Thermodynamische Potentiale (S, F, J)?
  16. Maxwell'sche Geschwindigkeitsverteilung.
  17. Was muss man beim Quantengas zusätzlich beachten (Unterschiede Bosonen - Fermionen; halb-, ganzzahlige Spins, Symmetrien der Wellenfunktion)
  18. Bose-Statistik, Fermi-Statistik
  19. Skizzieren der Zustandssumme für das Fermi-Gas. (Aufschreiben und erklären, warum man summieren muss.)
  20. Warum verwendet man die großkanonische und nicht die kanonische Zustandssumme → einfacher zu rechnen, Summe wäre komplizierter: In der großkanonischen Zustandssumme wird über alle Besetzungszahlen von N=0 Teilchen bis unendlich viele Teilchen summiert. In der kanonischen Zustandssumme ist aber N vorgegebn. Wenn man also z.B. N=10 Teilchen hat, dann dürfen nur 10 Besetzungszahlen 1 sein und man müsste dann die Summen durchpermutieren, sodass alle Fälle berücksichtigt werden. Bei der großkanonischen Summe ist dies nicht notwendig und man kann bei gegebener fester Teilchenzahl N das entprechende μ aus der Gleichung bestimmen.)
  21. Warum nehmen wir die großkanonische und nicht die kanonische Summe? (Anzahl der Summen = alle Permutationen für N bei kanonischer, bei großkanonische beliebiges N und damit keine Einschränkung an die Summe der Besetzungszahlen)
  22. Wie kann man eine Zustandssumme numerisch berechnen: Extrem hohe Energien sind unwahrscheinlich. Das zeigt sich im Boltzmannfaktor welcher für hohe Energien extrem klein wird. Damit können diese Summanden vernachlässigt werden.
  23. Überblick: Bose-Einstein-Kondensation.
  24. Bose-Einstein-Kondensation: Worum geht es, was passiert, warum geht Cv gegen 0. Überblick über die Herleitung (keine Rechnung)
  25. Verknüpfung mikroskopische Betrachtung mit makroskopischer Betrachtung: S=k\cdot\ln\Omega und Herleitung dieser Formel
  26. Wie kommt man von der Mikrokanonischen Zustandssumme auf die thermische und kalorische Zustandsgleichung (Über verallgemeinerte Kräfte, eingesetzt in )
  27. Was sind verallgemeinerte Kräfte?
  28. 1.HS: Betrachtung mit Wahrscheinlichkeiten und Energiemittelwert
  29. Was heißt quasistatisch? Kapitel quasistatischer Prozess und Kapitel verallgemeinerte Kräfte (Fließbach)

Prüfung von irgendwann zwischen 14. und 17. november 2010 (mane tomberger)

prof. schürrer war verdächtig ruhig und verdammt gut gelaunt. ich bin folgende 3 themengebiete gefragt worden:

  1. verallgemeinterte kräfte, infinitesimale änderungen; auswirkungen und schreibweise der inneren energie als diferential - infinitesimale wärmezuführ bzw infinitesimale änderung der äußeren parameter.
  2. herleitung der kanonischen zustandssumme - die pointe bzw die GENIALITÄT (lt. prof. schürrer) is die tatsache dass man durch substitution die summer aller zustände im system von der temperatur der umgebung abhängig machen kann
  3. qualitativ das bose-einstein-kondensat, recht genau aber trotzdem sehr tolerant . . .

sollte man mal soweit sein, dass prof schürrer ohne viel schreierein einem die frage über das bose-einstein-kondensat stellt, kann man sich sicher sein, dass die prüfung einen positiven ausgang nehmen wird.

viel spaß und viel erfolg

Prüfung 2010 bei von der Linden

  1. Welche Gesamtheiten gibt es? Was zeichnet jede einzelne aus, und was sind die Unterschiede? Gleichungen für Wahrscheinlichkeitsdichten und Zustandsummen anschreiben und genau erklären. Was bedeutet das geschwungene N und warum d^(2N) ? Was bedeutet d(H(p)-E)?
  2. Wie lautet die Quantenkorrektur und was ergibt sich daraus? Wie ergibt sich der zusätzliche Vorfaktor und was sagt er aus? (speziell warum N!)
  3. Wie lautet das Bohr van Leuwwen Theorem?
  4. Was wird in der Quantenstatistik eingeführt? Dichteoperator anschreiben und seine Eigenschaften erklären! (Wichtig Eigenwerte!!) Gleichungen der Wahrscheinlichkeitsdichten und Zustandssummen aller Gesamtheiten im Quantenstatistischen Zugang anschreiben und erklären!
  5. Das Ising Modell erklären. Hamiltonfunktion anschreiben und ebf. erläutern.
  6. Ideales Quantengas: Grundprinzip erklären mit Verbindung hin zum idealen Bosegas. Bose Einstein Kondensation: Verteilung anschreiben, erklären, skizzieren, Graph erläutern → Unterschied zur Fermi-Dirac-Verteilung. Mittlere Dichte für Bosonen anschreiben und weiters das Prinzip der BEC erklären. Wie lässt sich diese erzeugen und bei welchen Temperaturen tritt sie auf? (Beispiele nennen)
  7. Was ist Hohlraum-Strahlung? Modellsystem erklären + Formeln

Prüfung vom 4. Mai 2011 bei von der Linden

  1. Liouvillegleichung, Scharmittelung, Zeitmittelung, Ergodenhypothese
  2. Gesamtheiten: Gleichungen, QM - Korrektur, natürliche Variablen, Potentiale
  3. Wie kommt man auf die Kanonische Gesamtheit? was wird maximiert?, teilweise herleiten
  4. Quantemechanische Gesamtheiten: Formeln, Dichteoperator, Eigenwerte, Spur
  5. Bose Einstein Kondensation: Fermi-, Bose Verteilung (sehr genau!), Prinzip
  6. Black Body Radiation: Modell, Strahlungsformel herleiten

Prüfung vom 13. Mai 2011 bei von der Linden

Herr von der Linden hält sich an das bisher Beschriebene. Mir wurden nur etliche Lücken aufgezeigt die eigentlich aus anderen Vorlesungen bekannt sein sollten und grad nicht flüssig parat waren.

Liouvillegleichung ist die Bewegungsgleichung der Phasenraumelemente ausgehend vom Scharmittel (falls ich das jetzt richtig verstanden habe).

Photonendispersion: E = |k|*c

Fermikante: Bei T = 0 werden alle Niveaus bis zur Fermikante aufgefüllt.

Bosonenveteilung aufzeichnen (nicht im Skript): E < µ: physikalisch unsinniger Bereich, deshalb verboten. Bei µ = 0 Delta-Peak; E > µ exponentieller Abfall.

Alles in allem eine sehr angenehme Prüfung dahingehend abgehalten, dass er will, dass man durch kommt.