Quantenmechanik

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4. SemesterVO – 5 ECTS
Vortragende(r): {{#arraymap:Evertz, Hans Gerd|; |@@@@|@@@@}}
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Quantenmechanik I - mündliche Prüfung

Einleitung

Nachdem bis zu dem Zeitpunkt, als ich diese kleine Sammlung an Prüfungsfragen geschrieben habe erst drei Leute die Prüfung bei Prof. Evertz hinter sich gebracht hatten, ist es gut möglich, dass natürlich auch noch andere Fragen gestellt werden. Jedoch ähnelten sich besagte drei Prüfungen in ihrem „dramaturgischen Aufbau“ derart frappant, dass die nachfolgenden Fragestellungen zumindest als guter Anhaltspunkt für die Prüfungensvorbereitung dienen können.


Prüfungsgespräch

Zählen Sie einige Experimente auf, die auf Quantenmechanik hindeuten.

Doppelspaltexperiment (funktioniert mit Photonen und Elektronen)

Woran hat man erkannt resp. kann man erkennen, dass Photonen/Elektronen Teilchen sind?

Photoeffekt, Comptoneffekt

Paulimatrizen

Zusatzfrage: Was ist das Quadrat der Paulimatrizen?
Die Einheitsmatrix

Geben Sie die Zeitentwicklung eines Zustandes an

Einfach mit Zeitentwicklungsoperator anschreiben.

Was bedeutet ein Vektor physikalisch?

Er repräsentiert einen Zustand, d.h. ein Ensemble gleichartig präparierter Teilchen.

Geben Sie die Schrödingergleichung für Potentialproblem im Orts- und im Impulsraum an.

Was bewirken jeweils Orts- und Impulsoperator jeweils im Orts- und im Impulsraum?

Wird normalerweise in den Übungen durchgekaut, steht sonst auch im Skriptum.

Tipp: Es ist i.A. sogar erwünscht bei jedweder Unklarheit sofort zum Bleistift zu greifen und so unmgehend diesem "Zustand" Abhilfe zu verschaffen.

Betrachten wir ein Spin 1/2 Teilchen im Magnetfeld - was passiert?

Spinpräzession, s. Skriptum! Hamilton-Operator anschreiben

Was fällt Ihnen alles zum Stichwort Streuprobleme an Potentialbarrieren ein?

Am besten gleich einmal den Ansatz für die Wellenfunktion, sowie den zugehörigen Hamiltonoperator anschreiben.

Welche (Rand-)Bedingungen soll die Wellenfunktion für gebundene Zustände erfüllen?

Stetigkeit plus ev. Stetigkeit der Ableitung (Abhängigkeit vom Potential merken) und die Normierbarkeit.

Schreiben Sie den Spinoperator in Richtung n - beliebig an.

S. Skriptum!

Geben Sie den Zeitentwicklungs-, Translations-, und Rotationsoperator an.

S. ebenfalls Skriptum!

Formulieren Sie das Schrödinger- und das Heisenbergbild am Beispiel Erwartungswert

Klingt etwas kompliziert, bei genauerem Studium des Skriptums fällt einem dann aber doch wieder ein Stein vom Herzen...

Schreiben Sie das Ehrenfesttheorem an und verlieren Sie ein paar Worte dazu

Wichtiger Spezialfall ist, dass im Falle eines quadratischen Potentials - und zwar nur dann - der klassische Virialsatz gilt!

Harmonischer Oszillator: Geben Sie die Definition von Erzeuger und Vernichter sowie des Anzahloperators an. Schreiben Sie weiters den Hamiltonoperator und dessen Eigenzustände an.

Grundzustandswellenfunktion anschreiben (wichtig: Gaussfunktion. Normierung ist relativ unwichtig, kann außerdem am Papier leicht ausgerechnet werden). Sonst: s. Skriptum. Grafisch Anzahl der Nulldurchgänge

Was passiert mit diesen Wellenfunktionen in der Zeit?

Sie "zerfließen"

Gilt das für alle Zustände? Nein, kohärente bleiben zeitlich gesehen "scharf", sie zerfließen also nicht und verhalten sich dabei wie klassische Teilchen in einem Potentialtopf.

Was hat dieses Zerfließen für eine physikalische Bedeutung? Aussagen über den Ort des Teilchens können mit Fortdauer des Experiments immer ungenauer gemacht werden.


Schlussbemerkung

Abschließend noch ein paar Bemerkungen: Grundsätzlich wird das ganze Skriptum abgeprüft, soll heißen, dass auch die Formeln zu lernen sind! Der Mathematikteil ist dabei eher als Voraussetzung denn als expliziter Prüfungsstoff zu verstehen. Beweise daraus werden nicht geprüft.

Die Prüfung ist alles in allem sehr angenehm, da Prof. Evertz total ruhig und entspannt ist und den Prüfling geradezu dazu ermutigt sein ganzes Wissen (wie beschränkt dieses auch immer sein mag) preiszugeben.

Ich hoffe, die Zahl der Fehler möglichst gering gehalten zu haben. Natürlich ist es noch immer möglich, ja sogar äußerst wahrscheinlich, dass sich doch der eine oder andere Blödsinn eingeschlichen hat. In diesem Sinne bitte ich Kritik, Verbesserungsvorschläge oder gar ein kleines Lob an meine email - Adresse zu schicken!

Also, viel Glück an alle und never worry ´bout your spin,

[f3007198@sbox.tugraz.at Flo]

Prüfung vom 12.11.2008

  • Zeitentwicklungsoperator (Anwenden auf linearkombinierten Zustand, Phasenfaktor herausheben [physikalische Bedeutung]
  • 2-Zustands-Systeme (Wellenfunktionen des NH_3 Moleküls, Rabi-Formel und Aufbau des Experiments, Maser)
  • Endlich tiefer Potentialtopf (Wellenfunktionen für unterschiedliche Energieniveaus, Eigenschaften der Wellenfunktion, Schrödingergleichung)
  • Harmonischer Oszilattor (bereits gelöster Hamilton-Operator, Erwartungswert von Orts und Impulsoperator, Erzeuger - Vernichter)

Anzumerken wäre noch, dass er stark zwischen den Themengebieten herumgeswitched hat, teilweise jedoch nur da ich einige Fragen nicht sofort beantworten konnte und er mich langsam zur Lösung hingeführt hat. Die Fragen sind sehr genau gestellt, man sollte außerdem handfest mit Formeln sein und etwas Ahnung haben wie man mit Bras und Kets rechnet.

Weitere mündliche Prüfungen

  1. Stern-Gerlach-Experiment:
    • Was wurde klassisch erwartet? (wie sieht die erwarteteverteilung aus? → )
    • Was erwarteten die beiden? (-1,0,1)
    • Warum genau diese werte? (ganzzahlig → die möglichen Werte von m sind j-Abhängig und gehen in ganzzahligen schritten von -j bis j, j ist bei Silber = 1)
  2. Wie sieht der hamiltonoperator aus?
    • Allgemein?
    • Beim Stern-Gerlach-Experiment?
    • Beim harmonischen Oszillator
  3. Harmonischer Oszillator
    • Erwartungswert von P und Q
    • Grundzustandsfunktion, Energiewerte
    • Definition Anzahloperator über erzeuger und vernichter
    • wirkung der beiden auf eigenzustände
    • Wann kommt also erwartungswert beim Ortsoperator beim harmonischen Oszillator nicht null raus? (linearkombination von Zuständen)
  4. Zeitentwicklung
    • wie sieht sie aus? (versch. Formen, abhängigkeit von der Zeitabhängigkeit)
    • Warum kann man bei den Eigenzuständen die Energie E statt des Operators verwenden?
  5. Symmetrietransformationen
    • wie sehen sie aus?
    • Beispiele → Rotationstransformation
  6. Potentialprobleme
    • Endlicher Potentialtopf, energiewerte der eigenzustände, wie sehen sie aus
    • was passiert wenn die energie größer ist as die schwelle
    • streuprobleme mit ebenen Wellen auf Barriere und Delta
    • Wellenpaket läuft auf barriere zu → warum oszilliert es beim auftreffen?
    • Paritätsoperator → was ist er, was tut er?
  7. kohärenter Zustand
    • definition
    • was macht ihn besonders? (zerläuft nicht)
    • Zeitentwicklung des Zustandes im harmonischen Oszillator (pendelt hin und her)
  8. Ehrenfest Theorem
    • wie sieht es aus?
    • was passiert bei höchstens quadratischem Potential?
  1. Stern-Gerlach (den Versuch selbst und auch einiges, was ich eher Ex3 zuordnen würde: Was hätten die beiden eigentlich erwartet (→ -1,0,1), warum?, was hat der bahndrehimpuls damit zu tun, welche Werte für J, L, l, ml, ... . Das war ihm aber nicht so wichtig, war eher interessant)
  2. Rabi-Formel und wie der ganze AUfbau/das Experiment dabei ist → Energieaufnahme, Energieabgabe
  3. MASER → sollen sich unbedingt ALLE (ziemlich genau) anschauen (hat er extra nochmals betont)
  4. endl. Pot.-Topf → auch wo die Energieniveaus sind bzw. warum nur ungefähr dort
  5. Streuung → Gaußsches Wellenpaket läuft auf Potentialmulde zu → was passiert (aussehen)
  6. Lie-Gruppen, Symmetriezeugs, Noether-Theorem
  7. Ehrenfest-Theorem (wie kann man das messen, was ist das Problem bei der Messung)
  1. Zeitentwicklung (U-Operator, allgmeine Form über Hamilton-OP; Zeitentwickung einer Linearkombination von Eigenzuständen)
  2. Schrödingergleichung (Allgemein, zeitunabhängig; führt zu Eigenwertproblem)
  3. Gebundene Zustände im endlichen Potentialtopf (wie sieht Grundzustand aus, 1. angeregter Zustand)
  4. Freie Zustände im endl. Potentialtopf ⇒ Streuung
  5. Harmonischer Oszillator (Def. von Vernichter-, Erzeuger-, Anzahl-OP, Hamilton-OP ausgedrückt in diesen)
  6. Kohärente Zustände (Was ist das, Definition über Eigenzustand des Vernichtungsoperators [siehe Übungsblatt 9])
  7. Ehrenfesttheorem (ganz kurz was es aussagt)

Einige weitere Fragen

  1. Etwas über verschränkte Zustände (aus der Vorlesung).
  2. Wie schaut die Spektraldarstellung einer Funktion eines Operators aus?
    • Warum ist beim Zeitentwicklungsoperator der Eigenwert im Exponenten?
  3. Dichtematrix / reduzierte Dichtematrix
    • Woher kommen sie?
    • Was bedeuten sie?
    • Formel
    • Dichteoperator
  4. Welche Vertauschungsrelationen gelten beim Rotationsoperator?

Zusammenfassung:

hier