Partielle Differenzialgleichungen und Integraltransformationen

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3. SemesterVO+UE – 8 ECTS
Vortragende(r): {{#arraymap:Tomantschger, Kurt|; |@@@@|@@@@}}
TUGonline


mündliche Prüfung 1

Ungefähre Fragen meiner Prüfung vom 2.1.06 (wobei ich versuche die wichtigen Themen oder Ideen für das Verständis herauszustreichen). Übernehme keine Gewähr für die inhaltliche Korrektheit, etwaige falsche Aussagen bitte einfach korrigieren oder sie zumindest als solche kennzeichnen!

Integraltransformationen

Welche zwei wir gemacht haben und deren Voraussetzungen, die da wären:

  • Definitionsbereich [0, \infty] bzw. [-\infty, \infty]
  • dort stückweise stetig (kann abgeschwächt werden)
  • passende Integrabilität, also
    • Laplace: höchstens exponentielles Wachstum (d.h. |f(t)| \leq M \mathrm e^{\alpha t} mit reellen Zahlen \alpha, M geeignet) -- die Transformierte existiert dann in  s > \alpha
    • Fourier: absolute Integrierbarkeit auf \mathbb R für Fourier).

Anwendungen der L- und F-Transformation (hauptsächlich eben Differentialgleichungen)

Hilbert-Räume

Definition des Skalarprodukts (die vier Axiome). Approximation eines Vektors mit einer beliebigen endlichen Teilfamilie des Orthonormalsystems über die Idee, dass der "Fehler" im Sinne der Hilbert-Raum-Norm minimal wird (dass das Ergebnis für diese \lambda_i genau \lambda_i=\left(v,v_i\right) ist). Und dann noch die Besselsche Ungleichung

\sum_{i=1}^n \langle v, v_i \rangle^2 \leq \Vert v \Vert^2

Sie sagt aus, dass die Länge des approximierten Vektors immer kleiner oder gleich der Länge des ursprünglichen Vektors ist. Gilt für n \rightarrow \infty in der Besselschen Ungleichung das Gleichheitszeichen, so wird sie zur Parsevalschen Gleichung. Diese sagt aus, das v sich durch das Orthonormalsystem darstellen lasst. Falls sich alle v \in \mathbb H so darstellen lassen, heißt das System vollständig; das ist genau dann der Fall, wenn die Parsevalsche Gleichung für alle v \in \mathbb H gilt.

Lineare partielle Differentialgleichungen (PDE) 2.Ordnung

Typeneinteilung hyperbolische, elliptische und parabolische aufgrund der Koeffizienten der allgemeinen Form. Dass man jede PDE auf gewisse typische Normalformen transformieren kann und die dann mit unterschiedlichen Ansätzen löst. Welche typischen Problem treten bei der speziellen Lösung auf (ob Rand- bzw./und Anfangswertprobleme). Prinzipiell haben wir drei unterschiedliche Wege kennengelernt wie man an eine PDE herangehen kann.

Erstens Koordinatentransformation und einfach aufintegrieren ähnlich der d'Alambertschen Lösungsmethode.

Zweitens die spezielle Lösungsmethode über die Riemannfunktion für hyperbolische PDE, die Überführung von elliptischen PDE auf eine komplexe hyperbolische PDE die dann wieder mit der Riemannschen Integrationsmethode auf eine Funktion S führt (deren grober Unterschied zur Riemannfkt. darin liegt, dass man für sie die Werte auf gewissen (ganzen) Bereich G kennen muss und nicht wie bei der Riemannfkt. (oder allgemein für hyperbolische PDE's) nur auf dem Rand dieses Bereiches) oder der Seperations- bzw. Produktansatz für parabolische PDE's der aber auch

drittens wieder für alle Typen von PDE's 2.Ord. zumindest einen Lösungansatz darstellt. (Es hätte aus der Vorlesung herauskommen sollen, dass der Produktansatz deswegen einen Ansatz zum lösen von PDE's darstellt, weil irgendwie ja Lösungen von Differentialgleichungen oft trigonometrische Fkt. sind, die ja ein Orthonomalsystem darstellen bzw. zumindest orthogonalisierbar sind, diese somit zu einem Hilbert-Raum gemacht werden können und dass dieser vollständig ist, womit eben erklärt wäre, dass eine ungestörte Superposition zu einer Lösung führt (ist ja also eine vollständige Approximation im Sinne der Parseval'schen Gleichung))

Das war's auch schon. Allgemein ist also grobes Verständnis der Zusammenhänge gefragt, aber auf keinen Fall irgendwelche Details.

mündliche Prüfung 2

Integraltransformationen

Definition der Fourier-Transformation (Gleichung), Voraussetzungen für die Existenz, ihre Eigenschaften (alles von Linearität bis Faltungssatz) bzw. überall ein bissl was dazusagen, z.B. wofür Dualität sehr wichtig ist (Rücktransformation), warum es diese Eigenschaft überhaupt gibt (weil die Formel für die Rücktransformation bis auf das Vorzeichen im Exponenten sonst ganz gleich ist), ad Faltungssatz: wofür man den braucht (also z.B. Berechnung von Integralen, Rücktransformation bei Lösung von Differentialgleichungen, Lösen von Integralgleichungen (was wir in der Übung gemacht haben)), ad Differentiationssatz: warum hierbei keine Funktionswerte im Nullpunkt (s*F(0) usw.) wie bei der Laplace-Transformation auftreten (weil eine der Voraussetzungen der Fourier-Transformation die absolute Integrierbarkeit ist und deshalb die Funktion im Unendlichen mit Sicherheit verschwinden muss, deshalb fallen alle integralfreien Terme (weil beim Differentiationssatz tut man ja nix anderes als partiell zu integrieren, wobei integralfreie Terme auftreten) weg, da sie ja an den Grenzen + bzw. – Unendlich genommen werden)

Partielle Differentialgleichungen

Typeneinteilung

Typeneinteilung von PDE, warum wir überhaupt drauf gekommen sind (weil wir versucht haben durch eine Koordinatentransformation mit xi und eta die PDE möglichst zu vereinfachen, dabei tritt die Gleichung mit dem y’ auf, wo man dann die Fallunterscheidung bzgl. dem Vorzeichen des Ausdrucks unter der Wurzel machen muss), anschließend sind wir draufgekommen, dass den drei Fällen was Physikalisches (Gleichgewicht bei ell., Diffusion bei parab., und Wellenausbreitung bei hyperb. usw.) entspricht; warum sind bei ell. PDE Randwertprobleme und bei hyp. PDE Anfangswertprobleme korrekt gestellt (weil wenn man die Probleme irgendwie stellen würde, könnte man solche Fälle konstruieren, wo die Lösung nicht mehr stetig von den Anfangswerten abhängt, was i.A. nicht so gut ist)

Greensche Funktion

Greensche Funktion, was sie überhaupt ist, d.h. wie sie definiert ist (ist Fundamentallösung und verschwindet am Rand), ob sie im gesamten Definitionsgebiet Lösung ist (sie ist überall bis auf einen Punkt Lösung, der Punkt ist der, bei dem Q(xi, eta) und P(x,y) zusammenfallen, also einfach der singuläre Punkt; in dem Zusammenhang wollt er wissen, wie wir auf die Fundementallösung gekommen sind, d.h. S = A*log(1/r)+B) Bestimmungsmethoden für die Greensche Funktion (1. mittels der Spiegelungsmethode (da hat er so ein Beispiel mit einem Kreis gerechnet), 2. Problem irgendwie anders Lösen (siehe letzte Seite des Skriptums) und dann in der Lösungsdarstellung die Normalableitung der Greenschen Funktion identifizieren, diese dann integrieren (bringt aber nit sonderlich viel, weil des Problem hat man dann ja eh schon gelöst), 3. funktionentheoretisch mittels konformer Abbildungen)

Produktansatz

Produktansatz: der einfachste Fall mit homogenen Randbedingungen, einfach nur das Vorgehen beim Lösen des Problems (d.h. Lösung als Produkt ansetzen, einsetzen, separieren, Separationskonstante geeignet wählen (bei homogenen Randbedg. im Allgemeinen auf diskrete Werte eingeschränkt), Superposition und Anfangsbedingungen erfüllen; in dem Zusammenhang folgende Frage: warum ist es eigentlich möglich die Konstanten in der Superposition so zu wählen, dass tatsächlich alle Anfangsbedingungen erfüllt werden, bzw. was muss man dazu voraussetzen: Vollständigkeit des Funktionensystems, bzw. in dem Fall Vollständigkeit des trigonometrischen Systems)

Simon

Bitte

Weiters bitte ich jeden (immer bezogen auf Menschen, d.h. Männlein, Weiblein und Menschen ohne klassifzierbarer Ausprägung der innerlichen, äußerlichen, biophysikalischen oder sonstigen Geschlechtsmerkmale) der auch die Prüfung macht, jene Fragen, die derjenige gestellt bekommt ebenfalls hier reinzuschreiben oder gegebenenfalls meine Auflistung zu vervollständigen.

Gregor

Prüfung März 2010 Kurt Tomantschger

  • Integraltransformationen(Bedingungen, Existenzsätze, Umkehrtransformation)
  • Metrik(Definition: Abstandsbegriff,Norm,Innenproduktraum)
  • partielle DGL 1. Ordnung (Rumpftyp, 3 Lösungsmethoden)
  • partielle DGL 2. Ordnung ( Riemann Funktion, adjungierter Operator, Lösungsschema)
  • Lösung der Saitenschwingungsgleichung mittels Produktansatz

Prüfungsbeispiele Übung

Prüfungen bei Prof. Tichy

Die Prüfung bei Prof. Tichy ist als Alternative zur Prüfung bei Prof. Tomantschger gedacht für den Fall, dass etwaige Unstimmigkeiten auftreten. Die Prüfung ist auf keinen Fall leichter, und wer unvorbereitet erscheint, wird wieder weggeschickt. Sollte dies nicht ernstgenommen werden, wird Prof. Tichy sein Angebot zurücknehmen.

  • Stoff: das gesamte Skriptum von Prof. Wallner (außer konforme Abbildungen auf S. 84-85), nicht jedoch die handgeschriebenen Zettel von Prof. Tomantschger
  • Ablauf: Alle Kandidaten bekommen einen Zettel mit zwei Fragen, die innerhalb von 15 min zu beantworten sind, und werden nacheinander an die Tafel geholt. Wenn das vorbereite Beispiel falsch war, wird es an der Tafel richtiggestellt; ansonsten folgen Fragen zum Stoffgebiet bzw. die Präsentation der zweiten Frage. Nicht gewusste Fragen werden an die anderen weitergereicht, wobei es kein Gerangel um die Beantwortung der Frage gibt – wer dran ist, ist dran.
  • Benotung: Für eine positive Note muss das grundsätzliche Verständnis demonstriert werden, für 3 zusätzlich richtig rechnen und für 1-2 auch alle Beweise.