Numerische Methoden in der Physik

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5. SemesterVO – 3 ECTS
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Generelles

Es geht sehr stark ums mathematische und physikalische Verständnis - man muss unbedingt wissen wovon man spricht, mit Auswendiglernen kommt man sicher nicht weit. Als Formeln muss man lediglich das wichtigste können, also LSQ Formel, Runge-Kutte Ansatz mit Potenzreihen, wie die LU Decomposition funktioniert. Alles weitere muss man ihm einfach nur verständlich erklären können. Er geht alles sehr im Detail durch, also es kommt alles was in seinem Skriptum FETT oder KURSIV geschrieben ist irgendwie als Frage. Die Prüfungsdauer ist sehr stark davon abhängig wieviel man zu den einzelnen Teilen weiß, und kann zwischen 15Minuten und 1Stunde dauern. Wenn er nach der ersten Frage merkt das alles verstanden wurde wird die Prüfung schon mal abgebrochen. Das Prüfungsklima ist generell sehr angenehm und eher als lockeres Gespräch zu sehen.

Christian

Prüfungsfragen

erste Prüfung vom 14.02.2007

Grundsätzlich wird natürlich eher Verständnis und keine Formeln oder Herleitungen geprüft. Man braucht eigentlich keine Formeln hinzuschreiben, ausser vielleich sowas wie A x = b . In meinen Augen wurde erstaunlich oft auf den physikalische Hintergrund bzw. die Motivation für die numerische Methode eingegangen.

Inhomgone lineare Gleichungssysteme (GLS)

  • Grundsätzliche Methoden zur Lösung:
    • Direkte Methoden, Vertreter: LU-Decomposition
      • Was grundsätzlich passiert (jede reguläre Matrix kann in obere und untere Dreiecksmatrix aufgeteilt werden)
      • Das man diese GLS dann mit Vorwärts- bzw. Rückwärtssubstitution von der Spitze weg ausrechnen kann.
      • Nachteil der aufwendigen Berechnung der Matrizen L und U.
      • Pivotisierung.
    • Indirekte (Iterative) Methoden, Vertreter: Gauss-Seidl-Verfahren
      • Matrix für Korrekturvektor aus Umformung der einzelnen Gleichungen (daraus folgt das kein Diagonalelement der ursprünglichen Matrix 0 sein darf)
      • Daraus ergibt sich ein inhomogenes GLS zur Berechnung des Korrekturvektors.
      • Allgemein Vor- und Nachteile von iterativen Verfahren, sowie Abbruchbedingungen und das bei allen Iterationsmethoden jeweils nur der Rundungsfehler des letzten Schrittes eine Rolle spielt (Konvergenz vorausgesetzt)
      • Das phänomenologische Konvergenzkriterium für Gauss-Seidl
      • Variation des Gauss-Seidl Verfahrens mit Faktor \omega zur Unter- bzw. Überrelaxationsmethode, mitsamt Bestimmung von \omega_{ideal} für den angeführten Spezialfall.

Least-Squares Rechnung (LSQ)

  • Die Defintion der Summe (Gl. (4.1) im Skript) hinschreiben.
  • Klassifikation der Modellfunktion nach ihrer Abhängigkeit von den Parametern (linear oder nichtlinear)
  • Woher die verschiedenen Namen für die Modellfunktion kommen
    • Modellfunktion, weil man theoretisches Modell prüfen will
    • Fitfunktion, weil man eine Funktion an Stützpunkte "anpassen" will
  • Wie man zu den Fehlerbalken der Messwerte kommt (Normalverteilung bzw. Poissonprozess) und das man diese oft für alle Stützstellen gleich annimmt.
  • Wie man die Fehlerbalken im LSQ berücksichtigt ( g_k = \frac{1}{\sigma_k^2} )
  • Das bei der Modellfunktion mit linearen Parametern das Nullsetzen der ersten Ableitung zu einen inhomogenen GLS führt.
  • Das man sich bei nichtlinearen Modellfunktionen mit der Linearisierung über die ersten zwei Glieder der Taylorreihe begnügt (Gauss-Newton-Verfahren).
  • Das bei nichtlinearen Modellfunktionen das inhomogene GLS für einen Korrekturvektor  \Delta a gilt und die Lösung somit zu einem iterativen Verfahren führt.
  • Konvergenzprobleme des Gauss-Newton-Verfahrens und die Verbesserung von Marquardt, die bedingt das die Fehlersumme gleichbleibt oder sinkt.

Anfangswertprobleme von gewöhnlichen Differentialgleichungen (DGL)

  • Wie ist der Name des hauptsächlich verwendeten Verfahrens (Runge-Kutta)
  • Formel des Runge-Kutta Ansatzes (wenn möglich allgemein wie in Formel (8.15) )
  • Was ist das besondere bei den Runge-Kutta-Koeffizienten (dass sie aus einem unterbestimmten GLS stammen und es somit unendlich viele Möglichkeiten für die Wahl der Koeffizienten gibt).
  • Fehlerabschätzung der Methode (durch z.B. halbe Schrittweite, was aber dreifache Ausführung des Verfahrens bedeutet)
  • Verbesserung von Fehlberg als Mixtur aus Runge-Kutta vierter und fünfter Ordnung.

Gregor

Prüfung vom 10.06.2008

Hab gestern die Prüfung zur Numerik abgelegt. Hier die Fragen:

  1. Interpolation kurz im Allgemeinen, dann speziell Fourier (da sollte man die wichtigsten Sachen auch hinschreiben können), dann Fourier Anwendungen und überall ein bisschen erklären, was wir da bei der UE so gemacht haben, im Speziellen hat ihn bei mir die Geschichte mit der Apparate-Funktion interessiert (da wollte er dann auch, dass ich die Faltung hinschreib und wie das Ergebnis im Frequenzraum ausschaut (S ist einfach das Produkt von M und R (Index nicht vergessen!) mit irgendeinem Vorfaktor))
  2. nach ca . 30 min sind wir dann zu Eigenwerten gekommen, zuerst wieder allgemein (mit ein bisschen LinAlg (welche- u. wieviele Lösungen?, wie kommt man dazu?)) und dann immer spezieller, genau wollte er das Jacobi-Verfahren wissen und wie man dabei auf die Matrizen D und U kommt (limes), zum Schluss wollt er dann noch das Verfahren von v. Mises erklärt haben und wie man dann zum betragskleinsten EW kommt.→das wars

Prüfung war voll angenehm. Man sollte bei jedem Kapitel die wichtigsten Dinge auch hinschreiben können; oft meint er eh selbst, dass das trivial ist, aber "man muss es halt amal hingschrieben haben". Von der Zeit her hats bei mir eine knappe Stunde gedauert, weil wir ziemlich lang herum gefourieriert haben (auf das steht er schon).

Viel Spaß wünsch ich allen, die die Prüfung machen!

Prüfung

Fragen:

  1. Interpolation: Hier wollte er das allgemeine Problem wissen, also für eine gegebene Datenmenge einen Zusammenhang,eine Funktion finden. Dann die beiden Bedingungen und wann macht interpolieren Sinn? Naja nur dann, wenn die Datenmenge eindeutig ist und wenig Fehler hat. Dann Polynominterpolation und kubische Splines, das hat er relativ genau gefragt, auch was man da explizit machen muss. Naja, eh klar, Ax = y lösen mit Ranbedingungen zB natural splines. Dann Exponentialansatz und FT, da wollte er die ein oder andere Formel sehen, zB die spezielle Wahl fürs alpha und die FT bzw IFT.Warum nimmt man für die FT äquidistante Stützpunkte? Dann den numerischen Aufwand bei FT und Erklärung der FFT an Hand des lustigen Bildes aus seinem Skript und dann noch Anwendungen der FFT, da wollte er das im k domain wissen, wo man zB gewisse k's null setzt (Dirichlet) und dann die Verschiebung.
  2. RWP: Nachdem wir ca 40 mins über das erste Thema geredet haben, wollte er im Schnellverfahren noch Shooting und Numerov haben. Naja, allgememein mal die DGL mit den RB aufschreiben,was heißt entkoppelt? Dann für den Shooting Ansatz das Cauchy Problem aufschreiben und was macht man dann? Naja und dann Numerov ganz kurz die wesentlichsten Schritte.

Fazit: Eine der einfachsten Prüfungen bisher,zumal der Stoff auch sehr interessant ist und auch das Skript gut geschrieben wie ich finde. Fand es etwas schade, dass das an sich fade Thema "Numerische Integrationen" durchgemacht wurde und das zB Kapitel 4 gar nicht zur Geltung kam. Prof. Sormann ist natürlich äußerst nett und irgendwie sehr gutmütig. Ich fand meine Benotung fair, aber nicht geschenkt, fand's fast ein wenig zu fair ;) Aber ist mir ohnehin wurscht, von daher....Prüfung hat 50 mins gedauert,Formeln sind kaum welche aufzuschreiben.

Prüfung vom 07.04.2008

Prüfungsdauer: 45min Prüfungsatmosphäre: Sehr angenehm, gleich wie bei Abgabe der Übungen einfach ein "Fehlstellen-Gespräch", das man "ergänzen" muss. Cool

  • Randwertproblem
    • Shooting-Methode: Definition des RWP 2. Grades; RWP 2. O, wieviele RB? (2) Wie schauen die beiden RB aus?; Wie Umwandlung in AWP? (y(a)=... → y'(a)=...) Wie schauen die genau AB aus? Warum Wert beliebig außer Null? (homgene Gl., daher nur auf multiplikative Konst. bestimmt); Koordinatensys. aufzeichnen mit bel. Kurve und "Shooting" andeuten;
    • Numerov-Verfahren: Ableitung andeuten, d.h. Glg. yi+1 + yi-1= ... aufschreiben und erklären wie yi und yi(4) ausschauen; Wo sind ungerade Potenzen der Taylorreihenentw. geblieben? (ungerade Potenzen sind +,-, fallen bei Addition weg); Bedingung an die Form der DGL für Numerov; Was braucht man bei Rekursionsformel? (die ersten zwei Punkte)
  • Numerische Integration
    • Quadraturformel: Wie ist diese aufgebaut? (Qm = Summe über Gewichtsfaktioren mal f(x), Ordnung m); Wovon hängt Qualtiät der Quadaturformel ab? (m) Wie optimieren? (Ersetzen der allg. Fu. durch Polynome, dann Koeffizientenvergl.); Wie liegen Stützpunkte? (Äquidistant) Warum/Vorteil? (Aufzeichnen Intervallaufteilung immer in der Mitte → Kein Punkt verloren bei Erhöhen der Ordnung) Beste Methode? (Gauss) Wie Stützpunktvert. bei Gauss? (nach außen immer mehr Stützpunkte, symmetrisch zur Mitte) Vorteil davon, dass Randpunkte keine Stützpunkte? (Kein Problem im Falle von unbestimmter Form am Rand) Großer Nachteil von Gauss? (wenn man höhere Ordnung will muss man alles neu berechnen)
  • Fouriertransformation
    • Grundsätzliches zur Interpolation einer Punktmenge (Stützpunkte, funktioneller Zusammenhang phänomenologisch befriedigend, die 2 Bedingungen); Basisfunktion bei Fouriertransformation? (Exp.Fu) Wie schaut Formel aus? (I(x)= Summe über...); Wie schaut Alpha aus? Wie ist Punktverteilung (äquidist.); Nochmaliges aufschreiben der Formel mit eingesetztem Alpha; Formel für die Yk aufschreiben; Warum Formeln so "handsam"? (nur weil eben äquidist. Stützpunkte) Welchem Zahlenraum gehören Yk an? (Komplexem) Warum nimmt man diese Formel nicht? (langsam, n^2) Was gibts sonst? (FFT, n.ln(n)) Wie schaut die aus? (Yk zerlegen und nochmal zerlegen; Keine Formeln, nur Baumstruktur aufzeichnen) Warum so komische Reihenfolge(bei Baumstruktur)? (wegen Binärer Zahlen); Wann geht FFT nur? (Stützpunktanzahl muss 2n sein);
    • Anwendung FT:
      • Datenglättung: Funktion normal und fouriertransformiert aufzeichnen, dann Rauschen im k-Raum einzeichnen; Regel von Dirichlet beschreiben; Was ist wenn zuviel weggeschnitten? (Information verloren, Wenn Rauschen und Information überschneidet dann is blöd) Was wenn zuwenig weggeschnitten? (noch Rauschen drin) - Frequenzanalyse: Was heißt Frequenzanalyse eigentlich? (schauen welche Frequ. in einem Signal) Signal als Summe von welchen Funktionen? (Sinus, Cosinus) Was hat jede Frequenz noch? (Amplitude) Was macht macht man dann? (Formel R(I(t))= Summe über R(Cos-Amp.)*Cos+I(Sin-Amp.)*Sin) Formel für Frequenz? νk=k/P Wie Formel für Frequenzauflösung gewinnen? delta v_k=1/P Wie diese erhöhen? (Periode vergrößern) Ist diese Interpolationsfunktion gut? (Nein, Betrag der enthaltenen Frequenzen möglichst klein, vorderen Teil ins negative Verschieben) Wieso geht das? (Weil Fourierkoeff. im K-Raum auch periodisch sind) Wie ist Grenzfrequenz definiert? (νnyq=n/(2P)); Was ist wenn Frequenzanteile außerhalb/größer Nyqistfreq. sind? (werden hereingespiegelt und verfälschen Fourierkoeff.) Wie heißt der Effekt? (Aliasing-Effekt) Wie Aliasing-Effekt reduzieren? (vnyq erhöhen→ n erhöhen) Warum nicht P reduzieren? (Weil dann Frequenzauflösung leidet)

So, wünsch allen dies noch vor sich haben viel Glück!

Mfg Mani

Prüfung

Hallo!

Hatte heute auch meine Numerik Prüfung beim Sormann und kann eigentlich dem bisher genannten nicht viel hinzufügen. Was bei mir vielleicht aufgefallen ist, dass er Jakobi doch sehr genau gefragt hat. So ziemlich alles über die Drehmatrix U, wie sie aussieht, wie sie sich im laufe der Iteration ändert usw. und natürlich über die Matrix A selbst.

Die anderen Fragen waren die üblichen: Interpolation, Integrale, RWP.

Ansonsten war alles sehr nett und Prof.Sormann hilft auch gerne weiter, wenn man mal etwas nicht sofort weiß.

Viel Glück an alle weiteren Kandidaten!

Andreas

Prüfung vom 13.03.2008

Also die Prüfung war sehr gemütlich, angenehme Atmosphäre. Dauer: ca 45min

  1. Interpolation von Punktmengen
    • Allgemeine Anforderungen an Funktion und Punktmenge
    • Ansatz für die Interpolationsfunktion
    • Was passiert bei großen Ordnungen der Int.pol.fkt?
    • Kubische Splines - Funktion anschreiben
    • Bedingungen für die Funktion, um Koeffizienten berechnen zu können
  2. Fourier-Analyse
    • Ansatz für Interpolationsfunktion anschreiben
    • Bedingung an die Punktmenge (Wertebereich von x, äquidistanter Abstand der Punkte)
    • Wie schaut Koeffizient α aus?
    • Interpolationsfunktion neu anschreiben (Formel 3.16 im Skriptum)
    • Wie schauen die Fourierkoeffizienten aus (Formel 3.18)
    • Warum kann man die Koeffizienten direkt berechnen? (äquidistante Punkte → Entwicklungsfunktionen orthogonal)
    • FFT - Prinzip erklären
    • Rechenaufwand für normale Auswertung und Auswerteung durch FFT
    • Anwendungen - aufzählen - Frequenzanalyse und Datenglättung genauer
    • Frequenzanalyse - Optimierung der Fourierkoeffizienten (Abb.3.9), Auflösung, Nyquistfrrequenz
  3. Randwert -und Eigenwertproblem
    • Was macht man, um Shooting-Numerov anwenden zu können? (Randwertproblem in Anfangswertproblem überführen)
    • Formel 9.15 anschreiben (wieviel Anfangsbed. für Diffglg. 2ter Ordnung?) und Anfangsbedingungen aus Kapitel 9.4
    • y(a) und y'(a) für unterschiedliche α1 herleiten
    • Shooting Methode erklären
    • Numerov - Ansatz (y(x) +k(x)y(x) = 0)
    • Welche Art von Funktion? (Rekursionsformel)
    • Was braucht man zur Berechnung? (2 Startwerte, die sich aus den Anfangsbed. ergeben)

So, das wars! Allen viel Spaß bei der Prüfung!

Prüfung vom 20.02.2008

Hier der Prüfungsbericht von Nicola Schlatter:

servus

hab grad numerik prüfung hinter mir, damit ich nichts vergesse schreib ich gleich alles was gekommen ist.

  • Interpolation von Punktmengen
    • Grundsätzliches problem, stützpunkte, glatte verbindung...
    • allgemeiner ansatz, menge von linear unabh. funktionen → linear kombination polynome als funktionen, splines, bedingungen, zeichnen, warum 2.ableitung null bei natürlichen splines (2. abl. krümmung und die soll ja klein sein (möglichst glatt)
  • Fouriertransformation, rechenzeit, FFT prinzip, rechenzeit
    • anwendungen FT, Faltung, Datenglättung (warum können neg. koeff verwendet werden?), Frequenzanalyse (Frequenzauflösung, aliasing effect...)
  • RWP
    • grundsätzliches problem
    • shooting method, überführung in AWP wie und wie bei alpha1 = 0 ...
    • numerov methode, (taylorreihe, y +ky=0, add. von 2gleich, Differenzenqoutient der 4ten Ableitung), →rekursionformel, woher kriegt man die ersten 2 pkt?

prüfung war voll gemütlich, zwischen durch hat er gesummt und gepfiffen würde behaupten besser wie der herr kollege wallner formeln braucht man nur grundlegende z.b

Ansatz int. fkt kubische splines Ansatz Fouriertransf I(x) =... Yk = ... faltung frequenzauflösung nyquist freq.

also nichts wie hin und prüfung machen lg nicola

Prüfung vom 26.02.2008

Die Prüfung war eigentlich ziemlich ähnlich wie ein Abgabegespräch bei den Übungen - also recht angenehme Prüfungsatmosphäre. Dauerte bei mir glaube ich circa eine halbe bis dreiviertel Stunde. Stoff war natürlich nur was in der Vorlesung durchgenommen wurde, also Kapitel 1,3,6,7 und 9 - wobei er aber anscheinend besonders auf die Themen der Übungsaufgaben eingeht.

erstes Thema waren Eigenwertprobleme (Kapitel7):

  • zuerst Allgemeines zum Problem: Wie löst man Gleichungen vom Typ: Ax=b und Ax=0?
  • interessanterer Fall: A(λ)x=0 bzw. (A0 - λ)x=0 → wie kommt man auf die Eigenwerte/-vektoren?
  • Ansatz für die Diagonalisierung von A und welche Matrizen sind diagonalisierbar?
  • Jacobi: was macht es so circa, Funktionsprinzip? Dabei waren eigentlich keine wirklichen Formeln notwendig und schon gar kein Struktogramm.
  • Wahl der Parameter i,j,φ
  • anschließend noch kurz zu den moderneren zweistufigen Verfahren zur Eigenwertbestimmung

zweites Thema: Interpolationen (Kapitel 3)

  • allgemeine Anforderungen an die Interpolationsfunktion
  • allg. Ansatz
  • polynomiale Interpolation und gleich Übergang zu den kubischen Splines
  • Bedingungen zur Bestimmung der Koeffizienten
  • Fourier-Analyse hat er dann nur noch sehr grob und kurz angesprochen
  • Frequenz-Optimierung

...und das wars dann auch schon.

Viel Glück

lg, Toni

Prüfung vom 14.02.2011

Prüfungszeit ca. 30min

Numerische Integration (Kapitel 6):

  • Wie schaut die Quadraturformel aus (anschreiben)
  • Optimierungsvorschrift für Parameter gi (nur erklären)
  • Was macht man bei der summierten Trapezformel und warum? (warum: wegen Fehlern, die bei großen Intervallen [c,d] riesig werden)
  • Fehler proportional zu h^2 (je kleiner h, also je mehr Subintervalle, desto kleiner der Fehler)
  • Auswertung der Trapezformel (nur erklären wie man vorgeht und dass es eine Rekursionsformel gibt) & Vorteil gegenüber Gauss (es müssen nicht immer alle Stützpunkte neu berechnet werden)
  • Gauss-Leg. Quadraturformel: wie schaut die Stützpunktverteilung aus?
  • Fehlerabschätzung Gauss (nur zu wissen, dass EV prop. 1/[(2M)!]^3)
  • Anwendung auf unbestimmte Integrale vom Typ II, da offene Quadraturformel
  • Gauss-Laguerre, Gauss-Hermite: kurz erklären was der Unterschied zu Gauss-Leg. ist [W(x)]
  • Romberg: nur die Idee dahinter

Interpolation von Punktmengen (Kapitel 3):

  • Wieso legt man nicht ein Polynom durch alle Stützpunkte?
  • kubische Splines (Polynom anschreiben)
  • Bedingungen erklären
  • Welche Basisfunktion wird bei Fourierinterpolation genommen?
  • Interpolationsfunktion anschreiben
  • Wie kommt man auf die Yk? (Yk anschreiben)
  • Baumstruktur der FFT aufzeichnen (nur mit y ohne Indizes)
  • Rekonstruktion von Signalfunktionen (Faltungsintegral anschreiben, Zusammenhang im Fourierraum anschreiben)
  • Datenglättung nach Dirichlet kurz erklären (Was passiert wenn k0 zu groß oder zu klein gewählt wird?)
  • Frequenzanalyse kurz erklären

Eigenwerte und Eigenvektoren reeller Matrizen (Kapitel 7):

  • Idee des Mises Verfahrens, was ist der Nachteil? (man bekommt nur betragsgrößten/kleinsten EW und nicht gesamtes EW-Spektrum)
  • v(t) anschreiben

Man braucht also wirklich nur die wichtigsten Formeln und offenbar keine Struktogramme!

Prüfung vom 14.02.2011

Dauer ca. 20min

Anfangswertprobleme bei DGL (Kapitel 8):

  • Für welche DGL gelten die vorgestellten Verfahren? (explizite...)
  • Wie würde man allgemein Vorgehen und welches Problem hat man dabei? (Taylor... , Ableitungen...)
  • Welche Vorteile bietet Runge Kutta? (keine Ableitung..)
  • Wie lautet der allgemeine Ansatz für Runge Kutta? (Gleichung anschreiben)
  • Sind die c_1 bis c_p die einzigen Runge Kutta Koeffitienten? (nein)
  • Welche haben wir noch und wo kommen diese vor? (a_i .... in den g's)
  • Welcher Beziehung gehorchen die g's? (Rekursion ...)
  • Schreiben Sie die g's für eine Runge Kutta zweiter Ordnung an.
  • Was bekommt man wenn man die Runge Kutta Koeffitienten bestimmen will? (unterbestimmtes Gleichungssystem...)
  • Euler ist ein Runge Kutta Verfahren 1 Ordnung. Wie kann man sich die Näherung grafisch überlegen? (Tangente im Punkt x_0,y_0...)
  • Wie sieht das mit der modifizierten und wie mit der verbesserten aus? (wieder mit Gerade durch x_0,y_0 und den beschrieben Steigungen)
  • Bedeutet die ode45 Funktion das wir ein Runge Kutta Verfahren 45 ORdnung nehmen? (nein ... 4 und 5 ordnung für die fehlerabschätung ...)
  • Was hat Fehlberg gezeigt? (Die Rekursionsformel für die Ordnung p und p+1 besitzen gemeinsame Basis ....)
  • Wie kann man jetzt die ideale Schrittweite für Programme finden? (Gleichung anschreiben und erklären ...)

Interpolation von Punktmengen (Kapitel 3):

  • Welchen Interpolationsansatz verwendet man bei der Frequenzanalyse? (exp..)
  • Anschreiben der Foreml für die Frequenz. (v_k=k/P)
  • Welchen Bereich wählt man für die Frequenz Analyse und wieso? (starke Oszillation bei großen argumenten von cos und sin ...)
  • Wie nennt man die Frequenz bei n/(2*P)? (Nyquist..)
  • Was passiert mit Frequenzen die außerhalb unseres zu untersuchenden Bereichs liegen? (hineingespiegelt...)
  • Wie heißt der Effekt? (aliasing...)
  • Was kann man dagegen tun? (n vergrößern ...)
  • Wieso verkleinert man nicht P? (leidet die Frequenzauflösung)

Eigenwerte und Eigenvektoren reeller Matrizen (Kapitel 7):

  • Was versucht man mit dem Jacobi Verfahren zu erreichen? (Diagonal-Form)
  • Wieso? (Eigenwerte in Diagonal, Eigenvektoren...)
  • Wie schaut die Diagonalisations-Gleichung aus? (Anschreiben)
  • Was soll im Grenzfall gelten? (das A in D übergeht ...)
  • Wie schaut bei Jacobi die Matrix U aus? (Einheitsmatrix/Drehmatrix ...)
  • Wie wählt man die Parameter i,j und phi optimal? (Erklären mit Summer der nicht Diagonal... , wählen größtes Element..., zu null werden..)

Wirkt viel, war es aber nicht! Konnte kaum mehr als zwei bis drei Sätze pro Frage (manchmal reichte auch ein einziges Wort) sagen dann hat er schon die nächste Frage gestellt. Viel Glück!