Funktionentheorie und spezielle Funktionen

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4. SemesterVO+UE – 7 ECTS
Vortragende(r): {{#arraymap:Tomantschger, Kurt|; |@@@@|@@@@}}
TUGonline


Errata im Skriptum von Prof. Wallner

Im Analysis-4 Skriptum hat wieder einmal der Fehlerteufel zugeschlagen. Es folgen einige der Fehler, die mir das Verstehen erschwert haben, d.h., die mir nicht sofort klar waren:

5.2 Integralformel von Poisson, S. 23
  • In Gl. (5) fehlt rechts der Faktor 1/2
  • Gl. (6), korrigiert und etwas weiter ausgeführt:
0 = -\frac{1}{2\pi\mathrm i}\oint_\mathrm{EK} \frac{f(\zeta)}{\zeta - 1/\bar z} \mathrm d \zeta = -\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int_0^{2\pi} \frac{f(\zeta)}{\zeta - 1/\bar z} \mathrm i \zeta \mathrm d t = -\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\zeta) \frac{\bar z}{\bar z - \bar \zeta} \mathrm d t
Im letzten Schritt wurde \bar \zeta = \overline{\mathrm e^{\mathrm i t}} = \mathrm e^{-\mathrm i t} = 1/\zeta verwendet.
Ähnliche Fehler (bei einer Substitution wird der aus der Ableitung entstehende Faktor kurzzeitig "unterschlagen") kommen öfters vor.
6.2 Lokales Argumentprinzip, S. 26
"Im folgenden betrachten wir auch Stellen, an denen die [Ordnung der] erste[n] nicht verschwindende[n] Ableitung auch größer 1 sein kann."
Satz 27, S. 27
Es sollte h = g sein.
Satz 32 f. (Herleitung der Laurent-Reihen, S. 30 f.)
Es steht an etlichen Stellen z statt \zeta. Die Integrale sollten immer über \zeta laufen. Außerdem steht auf S. 31 unter a) bzw. b) \leq statt < bzw. \geq statt >
7.3 reelle Integrale mittels Residuen, Punkt 1., S. 35
Es wird nur über die Residuen mit \operatorname{Im} z_j > 0 summiert.
18.2.4 Additionstheoreme und Reihen über Besselfunktionen, S. 88
2. Sollte heißen:
1 = J_0 + 2 \sum_{k=1}^\infty J_{2k}(z)
18.2.7 Sphärische Besselfunktionen, S. 90
Der Radialteil der Helmholtz-Gleichung lautet in Kugelkoordinaten:
R'' + \frac{2}{r}R' + \left(k^2 - \frac{l(l+1)}{r^2}\right)R = 0
mit den Transformationen \rho = kr und R(r) = u(\rho)/\sqrt{\rho} folgt:
u'' + \frac{1}{\rho}u' + \left(1 - \frac{(l + 1/2)^2}{\rho^2}\right)u = 0
Disclaimer: Diese Fehler wurden von mir, einem Studenten, unterstellt, ohne vorherige Rücksprache mit Prof.
Wallner. Die Korrekturen stammen ebenfalls aus meiner allzu fehlbaren Feder.
- Æ 17:16, 6. Jul 2006 (CEST)

Prüfungsvorbereitung

Lernkartei SS 2008

Diese virtuellen Lernkarten beziehen sich auf das Skript von Prof. Wallner und decken die Kapitel entsprechend dem Umfang ab, wie sie in der Vorlesung von Prof. Tomantschger behandelt wurden (viel Funktionentheorie, gegen Ende weniger genau). Sie wurden mit der Software FullRecall erstellt (Gibt es gratis zum herunterladen). Formeln und Bilder sind leider nicht dabei, aber viele gibt es eh nicht. Ergänzungen, Korrekturen und Verbesserungen erwünscht!

Mündliche Prüfungen (Prof. Kurt Tomantschger)

Prüfung vom 03.07.2008

Funktionentheorie

er hat mich beinahe jeden Satz/Defiition (wobei Beweise nicht geprüft wurden) ab Kap. 3 gefragt, ( CRDgl, linear approximierbar, Differenzierbarkeit, harmonisch, Windungszahl, Identitätssatz, Gebietstreue, Integralformel v. Cauchy, Laurentreihe, Residuensatz, Singularitäten,....etc.). Wenn man etwas nicht weiß (z.B.: Darstellung der Koeffizienten der Laurentreihe), sollte man halt eine Idee haben wie man darauf kommt (Int.-Formel v. Cauchy f. Kreisringe, Umformung der Summenbeziehung für die geometrische Reihe)

Spezielle Funktonen

Laut seiner Meinung das 'UM UND AUF' der Vorlesung. Wichtig sind ihm die Kenntnis der wichtigsten Differentialgleichungen (sollte man ohne langes Nachdenken hinschreiben können), Frobenius-Methode eventuell mit Herleitung, Besselfunktionen & Kugelfunktionen (auch die Graphische Darstellung). Nicht geprüft wurde das Sturm-Liouville-Problem & die asymptotischen Entwicklungen (also Laplace- & Sattelpunktmethode), Gamma & Betafunktion. Die Orthogonalpolynome (also Formel von Rodriguez, Nullstellen, erzeugende Funktionen, Abbruchsbedingunge, Rekursionen) hab ich kurz erwähnt, waren aber nicht gefragt

Prüfung vom 17.07.2008

FUNKTIONENTHEORIE

Was versteht man unter „Funktionentheorie“?

Komplexe Analysis

Warum hat man in der komplexen Analysis so viel mehr Möglichkeiten als in der Reelen?

Bildung der Limites und Integration auf unendlich vielen verschiedenen Wegen möglich.

Was ist eine notwendige Bedingung für die Holomorphie?

Cauchy-Riemann-Dgl.~

Von einer holomorphen Fkt. sei der Realteil resp. Imaginärteil vorgegeben. Was kann man dann über den jeweils anderen Teil aussagen?

Ist bis auf additive Konstante genau bestimmt. Was sagt der Cauchy´sche Integralsatz aus (C.I.S.)?

-Formulierung des C.I.S.-

Wie lautet die Cauchy´sche Integralformel (C.I.F.)?

-Formulierung der C.I.F-

Wie kann diese verallgemeinert werden?

C.I.F. für die Ableitungen

Welche Folgerungen ergeben sich aus der C.I.F.?

Beispielsweise: Jede holomorphe Fkt. kann im Holomorphiegebiet in eine Potenzreihe entwickelt werden usw.

Wie lautet der Identitätssatz (I.S.)?

-Formulierung des I.S.-

Wie lautet der Satz von Liouville (S.v.L.)?

-Formulierung des S.v.L-

Was versteht man unter einer Laurent-Reihe?

Reihendarstellung, die in einem Kreisring konvergiert; Erklärung von Haupt- und Nebenteil;

Wie lautet der Residuen-Satz (R.S.)?

-Formulierung des R.S.-

Welche Typen von Singularitäten gibt es? Wie kann man sie identifizieren?

Je nach Beschaffenheit des Hauptteils der Laurent-Reihe: Unterscheidung zw. hebbarer Singularität (ev. ein Beispiel geben wie bw. (cos(z)-1)/z oder so), Polstelle k-ter Ordnung, wesentliche Singularität

Was sagt der Satz von Casorati-Weierstrass (S.v.C.W) über das Verhalten einer Fkt. in der Umgebung einer wesentlichen Singularität aus?

-Formulierung des S.v.C.W.-

SPEZIELLE FUNKTIONEN

Wie lautet die Bessel-Dgl.?

Hinschreiben der Bessel-Dgl.

Welche Eigenschaften haben die Lösungen dieser Dgl.?

Sehen aus wie gedämpfte Sinus-/Cosinus-Fkt.~, mit zunehmender Ordnung wird Max.-Norm kleiner, Funktionen beschränkt mit |J_n|<=1, nur J_0 geht durch den Punkt (0,1), die Nullstellen trennen sich wie bei Orthogonalpolynomen gegenseitig usw.usf.

Prüfung vom 17.12.2008

Sätze Kapitel 3-10

Anmerkung: Bei den Cauchy Riemand DGLs auch anmerken dass ER uns gesagt hat wie man drauf kommt (Annäherung x- und y-achse zu einem Punkt

Spezielle Funktionen

Bessel Funktionen: Bessel DGL aufschreiben, wissen wie sie graphisch ausschauen Herleitung: Beziehung 54, S97 Zusammenhang mit Frobenius Methode

Legendre Funktionen DGL aufschreiben und wissen wie sie ausschauen, bzw dass gradzahlige Indizes Symmetrisch sind und ungradzahlige unsymmetrisch

Prüfung vom 19.12.2008

Zusätzliche Fragen zur Funktionentheorie:
-Nennen Sie einige Sätze die nur in der komplexen Analysis gelten...

-Was ist der Unterschied zwischen reellem und komplexem Ableiten? (Im Reellen kann man sich nur von links und von rechts z0 nähern, im Komplexen von jeder Richtung)

-bei IFC: kann beliebige geschlossene Kurve sein, nur bei der im Skript darunterstehenden Verallgemeinerungen mit den Ableitungen muss es eine Kreiskurve sein. Ausserdem was sagt er genau aus? (Funktion am Rand gegeben → Verhalten im Inneren bestimmbar)

Zusätzliche Fragen zu Differentialgleichungen:
-Wie kam Frobenius auf seinen Ansatz? (zuerst Dgl vereinfachen indem man p konstant annimmt, dann Ansatz machen, lösen und später wieder verkomplizieren)

-Wie kommt man auf die Formel zur Konstruktion der Neumann-Funktionen? (muss nicht unbedingt Sinus und Cosinus sein, wichtig ist, dass man wenn man lambda gegen n schickt, oben und unten Null herausbekommt um de l'Hospital anwenden zu können, es könnte z.B. auch der Tangens sein)

Anmerkungen

Es wurden keine Beweise verlangt, dennoch ist es für die Note förderlich, wenn man zumindest eine Beweisskizze geben kann (d.h. z.B. zum Identitätssatz den Satz über die Isoliertheit von Nullstellen holomorpher Funktionen angeben, zum S.v.L. die Abschätzungsformel angeben usw.).

Wichtig ist es alle Sätze und Definitionen aus dem Skript, eventuell Sätze / Methoden, die vom Prof. zusätzlich angegeben wurden, das Verhalten der speziellen Funktionen (graphisch) und alle Blätter die vom Prof. ausgeteilt wurden zu kennen.

Zum Prüfungsstil:
Beispiele: Mit was sollen wir beginnen: Funktionentheorie oder spezielle Funktionen? Nennen Sie einige Sätze zur komplexen Analysis... Was wissen Sie über die Besselfunktionen?
Er stellt also keine Fragen, sondern lässt zu einem bestimmten Thema referieren.

Prüfungen bei Prof. Tichy

Die Prüfung bei Prof. Tichy ist als Alternative zur Prüfung bei Prof. Tomantschger gedacht für den Fall, dass etwaige Unstimmigkeiten auftreten. Die Prüfung ist auf keinen Fall leichter, und wer unvorbereitet erscheint, wird wieder weggeschickt. Sollte dies nicht ernstgenommen werden, wird Prof. Tichy sein Angebot zurücknehmen.

Stoff

  • Funktionentheorie:
    • Grundlagen, insbesondere komplexe Exponentialfunktion und komplexer Logarithmus
    • Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, Spiegelung am Einheitskreis, Integralsatz/Integralformel von Cauchy, Laurent-Reihen, Anwendung bei Integralberechnungen, Laplace-Rücktransformation (aber kein Bromwich-Integral), Satz von Rouché, für ein Sehr Gut zusätzlich Satz von Mittag-Leffler, Weierstrass Produktansatz
    • keine Riemannschen Flächen
  • Spezielle Funktionen: u.a. Gamma-Funktion, Beta-Funktion, Separationsmethode, Sturm-Liouville-Problem, Orthogonalpolynome, Kugelflächenfunktionen bzw. Legendre-Polynome, Zylinder- bzw. Bessel-Funktionen, asymptotische Darstellung […]

Modus

Alle Kandidaten bekommen einen Zettel mit zwei Fragen, die innerhalb von 15 min zu beantworten sind, und werden nacheinander an die Tafel geholt. Wenn das vorbereite Beispiel falsch war, wird es an der Tafel richtiggestellt; ansonsten folgen Fragen zum Stoffgebiet bzw. die Präsentation der zweiten Frage. Nicht gewusste Fragen werden an die anderen weitergereicht, wobei es kein Gerangel um die Beantwortung der Frage gibt – wer dran ist, ist dran.

Für eine positive Note muss das grundsätzliche Verständnis demonstriert werden, für 3 zusätzlich richtig rechnen und für 1-2 auch alle Beweise.