Analytische Mechanik

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3. SemesterVO – 6 ECTS
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Analytische Mechanik - mündliche Prüfung (Flo)

Einleitung

Anbei eine kleine Zusammenfassung meiner eigenen mündlichen Prüfung. Ich hoffe, nichts wie auch immer geartet Falsches in den Text geschrieben zu haben. Sollte sich doch der eine oder andere Fehler eingeschlichen haben, so bitte ich mir dies, persönlich oder per mail, mitzuteilen resp. den Stein des Anstoßes gleich selber - und am besten richtig - auszumerzen.


Prüfungsgespräch

Sie haben ein mechanisches Problem – was tun Sie?

Zuallererst Zwangsbedingungen klassifizieren (skleronom oder rheonom?).

Warum?

Ermöglicht erste Auswahl der Methode (rheonom: Weder D’Alembertsches Prinzip oder Lagrange II anwenden, sondern Lagrange I).

Die Zwangsbdg. seien skleronom. Wie gehen Sie weiter vor?

Betrachte Ausgangslage: Handelt es sich um einen einzelnen Massenpunkt, oder ein System von Massenpunkten, oder vielleicht um einen starren Körper? Weitere Einschränkungen bezüglich des weiter verwendeten Formalismus möglich (System von Massenpunkten: Lagrange I & II nicht verwenden (prinzipiell schon möglich, jedoch nicht üblich, lt. Prof. Schachinger), ebenso wenig D’Alembert).

Weiters entscheide ich, ob im Körpersystem KS (starrer Körper bei Bestimmung Hauptträgheitsmomente), im Schwerpunktsystem SS (etwa Stoßproblem) oder im Laborsystem LS gerechnet werden soll.

Angenommen (nimmt eine Münze aus der Geldtasche) Sie wollen die Bewegungsgleichung dieser Münze beschreiben. (Setzt Münze mit Kante auf Tisch und lässt sie umfallen) Welches System werden Sie wählen bzw. welches Trägheitsmoment benötigen Sie zur Beschreibung des Problems?

Wähle das Laborsystem. Trägheitsmoment bezüglich der Rotationsachse benötigt (à Satz von Steiner).

Zurück zum mechanischen Problem. Wie werden Sie weiter vorgehen?

Symmetrien und Erhaltungsgrößen berücksichtigen.

Wann bringen diese einen Gewinn an Information bezgl. des zu lösenden Problems?

Wenn diese Freiheitsgrade nicht ohnehin schon von einer Zwangsbedingung abgedeckt werden.

Weiters?

Jetzt Entscheidung für eine Rechenmethode. Newtonsche Bewegungsgleichungen prinzipiell immer möglich!

Wie gehen Sie vor, wenn Sie die Zwangskräfte ermitteln wollen?

Entweder Lagrange I (direkt), oder Lagrange II lösen und in Lagrange I einsetzen und Zwangskräfte eruieren. (D’Alembert nicht verwenden!)

Gut Sie wählen den Lagrange II Formalismus und die Anzahl der Freiheitsgrade ist bekannt. Was nun?

Wahl der verallgemeinerten Koordinaten (diese werden so gewählt, dass die Zwangsbdg. für beliebige Werte der qi erfüllt sind). Achtung: Verallg. Koord. sind nicht eindeutig! Als Begründung genügt: Weil Lagrangefunktion nicht eindeutig ist.

Wie stellen Sie die Lagrangefunktion auf?

Ist Funktion der verallg. Koord., deren Zeitableitungen und der Zeit (L = T - U).

Wie lauten die Potentiale?

Es handelt sich um die verallgemeinerten Potentiale (verallgemeinerter Kräfte). Definition auswendig lernen und beinhart aufsagen!

Zur Fluiddynamik. Welche typischen Kenngrößen gibt es für ein Fluid?

Freie Weglänge, charakteristische lineare Größe (zusammen ergeben diese eine Kennzahl, die entscheiden lässt, welche Theorie zur Beschreibung verwendet werden soll), Dichte, Viskosität („kann man sich wie Reibung vorstellen“ wird als Beschreibung des Phänomens durchaus geduldet), Kompressibilität (öfter als die Kompressibilität wird Zustandsgleichung angegeben!)

Wie verläuft die Strömung an einer Oberfläche von einem idealen/viskosen Fluid?

Im ersten Fall gilt u≠0 an der Oberfläche, im zweiten u=0.

Wie ist die freie Oberfläche eines Fluids charakterisiert?

1) keine Tangentialkräfte, und 2) Druck an Oberfläche ist gleich dem Umgebungsdruck.



Unterschied Kinematik und Dynamik

Kinematik: charakterisiert durch Trajektorie, Dynamik: bestimmt durch einwirkende Kräfte

Wie findet man Integrale der Bewegung?

1. zyklische Koordinate in Lagrange-Funktion; 2. Poincarè-Abbildung; 3. Raum-Zeit Symmetrien;

Welche Raum-Zeit Symmetrien gibt es?

1. Homogenität in der Zeit → Energieerhaltung; 2. Homogenität des Raums → Impulserhaltung; 3. Isotropie des Raumes → Drehimpulserhaltung;

Nennen Sie ein Beispiel für die jeweilige Symmetrie?

zB. Schwingungsverhalten eines Pendel bleibt unverändert, wenn 1. heute oder an anderen Tag, 2. in Graz oder in New York, 3. in andere Richtung ausgelenkt wird

Vielteilchensystem?

Erhaltungssätze: Schwerpunktssatz, Drehimpulssatz, Energiesatz; Aussagen über zeitliche Mittelwerte (von Energie und Geschwindigkeit) mittels Virial

Warum ist Lagrange-Funktion nicht eindeutig?

Newtonsche Bewegungsgleichungen gegenüber Galilei-Transformationen invariant. Die Lagrange-Gleichungen müssen den gleichen Bewegungsverlauf ergeben, deshalb kann Lagrange-Funktion nicht eindeutig sein.

Welche Größen bestimmen die Strömung eines Fluids

Wirbelstärke, Zirkulation



Trägheitstensoren

Warum ist es ein Tensor - Hauptachsentransformation?

Warum ist er symmetrisch?

Was sagt die positivität aus? Ein Körper fängt nicht alleine an zu rollen

Was sagt die Summenformel aus?

Was bedeuted Stabile lage - wie kann man das überprüfen? Stabil - Rotation um stabile Lage



Ein weiteres Prüfungsgespräch...

Welche 3 grundsätzlichen Konzepte gibt es in der Mechanik?

1) Newton'sche Bewegungsleichungen (da zählt auch Lagrange I und II dazu, da sie zu den Bewegungsgleichungen führen) 2) d'Alembert (virtuelle Verrückungen) 3) Hamilton Prinzip (Prinzip der extremalen Wirkung) + wann wende ich welche an...

Wenn es diese 3 Konzepte gibt, wieso bekommt man trotzdem das gleiche Ergebnis?

Hamilton und d'Alembert sind insofern ähnlich, indem beide Verrückungen behandeln (virtuell bzw. reell) Hamilton-Funktion wird über LEGENDRE Transformation aus den Lagrange Gleichungen gewonnen. Da Lagrange auch zu den Bewegungsgleichungen führt sind hiermit Newton'sche Bewegungsgleichungen und Hamilton-Prinzip wieder auf das gleiche zurückgeführt.

Erhaltungssätze / Galilei Transformationen

Zuerst allg. über Erhaltungssätze. Wie erkennt man es an LagrangeII-Fct? Zyklische Koordinaten. Und wie erkennnt man jetzt dass zb genau der Drehimpuls, Impuls bzw. Energie erhalten ist? Drehimpuls: Ableitung nach Winkel. Grund: Isotropie des Raumes (+was ist das genau) Impuls: Ableitung nach Ortskoordinate. Homogenität des Raumes. Invariant gegenüb. Ortstranslation Energie: Zeit. Homogenität der Zeit. Invariant ggüb. Zeittranslation

Bekanntlich sind Bewegungsgleichungen (also die Mechanik allg.) gegenüber Galilei Transformationen invariant. Wieso ist nun aber die Lagrange-Fct NICHT invariant gegenüber Galilei Transformation? Grund: Lagrange ist nicht eindeutig. Wieso? Weil verallgemeinerte Koordinaten nicht eindeutig sind. Und weiter? hier versagen dann leider meine Erinnerungen... Es ist also möglich eine möglichst einfache Lagrange-Fct aufzustellen. Wie erkenne ich sie? möglichst viele Erhaltungsgrößen.

Es waren noch weitere Fragen wo ich mich tlw. nicht mehr so genau erinnern kann. zB Point-Care-Schnitte und natürlich allgemeines über die Fluiddynamik (es ist auch empfehlenswert das Kapitel über Wellen zumindest einmal durchzulesen, dass man zumindest weiß was Dispersion heißt und wo sie auftritt ; )



Und noch eine Prüfung...

Oszillatoren, Schwingungen anharmonischer, harmonischer Oszillator (isotrop, anisotrop), wie komme ich zur Lösung (v.A. über Energie mit dem Phasendiagramm will er hören), 2dim Oszillator, zeigen, dass Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist über Lagrangefunktion. gedämpfter harmonischer Oszillator (Rayleighsche Dissipationsfunltion!!), erzwungene Schwingung (wie lösen - zuerst Lagrange II, nach Erhaltungsgßen suchen, dann weiter)

Saitenschwingung mit welcher Überlegung Übergang SChwingung → Saitenschwingung (Übergang vom diskreten ins kontinuierliche, Auslenkung als Feld, was ist ein Feld), wann kann ich den Übergang n→unendlich machen?

Vielteilchensysteme abgeschlossene Vielteilchensysteme, Virialsatz; starrer Körper, wie wird Bewegung beschrieben, warum ist der Bezugspunkt im Körper egal? zeigen, dass ein starrer Körper immer sechs Freiheitsgrade hat, TrägheitsTENSOR (nie und nimmer Trägheitsmoment!!), eigenschaften (symmetrisch, I_i + I_j > I_k), ein bisschen Stabilität der Rotationsrichtung

Fluidmechanik wodurch wird ein Fluid charakterisiert? Dichte, Kompressibilität, Zähigkeit, Zustandsgleichung. Welche Kenngrößen gibt es für die Beschreibung? Strömung, Strömungslinie, Wirbelstärke(was ist das genau?), Zirkulation(Definition und wann kann sie auftreten? - umströmter Körper)

Ansonsten noch ein paar Fragen (wie finde ich erhaltungsgrößen - was ist genau die isotropie des raumes (gegenüber infinitesimalen phi veränderung invariant), mehr fällt mir auch nicht mehr ein. Hauptsache immer mathematisch exakt bleiben!



Und noch eine Prüfung: März 2012

1.) die eindimensionale Atomkette:

Aufstellung der Newtonschen Bewegungsgleichung und der dazugehörigen DGL; Wie löst man diese(=>Eigenwertproblem), was bedeuten die Eigenwerte(Schwingungsrequenzen) und Eigenvektoren(Schwingungsmoden)? Wie lautet nun die allg. Lösung?

-Dann ging es weiter mit der Saitenschwingung:

Wie lautet die Wellengleichung? Welcher Ansatz? (Produktans.); Allg. Lsg., Superpositionsprinzip

2.) Fluids

Eulersche Bewegungsgleichung anschreiben + Terme erklären; Welche Kräfte wirken auf eine Luftblase in einem Fluid bzw. wo steckt der Auftrieb in den Eulerschen Bewegungsgleichungen

Er scheint also mittlerweile eher weniger allgemeine Verständnisfragen zu stellen, sondern schon genauer zu 2 Beispielen zu fragen. Dazu hat er bei mir je eine Skizze gemacht, dann konkrete Fragen gestellt und bei den Schwingungen auch den weiteren Weg abgefragt. Benotung war aber eindeutig besser als ich zwischenzeitlich befürchtet hatte :)

Schlussbemerkung

Also dann, viel Glück für die Prüfungen und lasst euch nicht durch raffiniert gestellte oder aufs erste Hinhören schwierigscheinende Fragen aus dem Konzept bringen!

flo
christian
lukas

Lösungen der Übungsbeispiele im WS 05/06

Sammlung der durchgerechneten Übungsbeispiele von uns Studenten - insbesondere deshalb keine Garantie auf Richtigkeit und Vollständigkeit der Beispiele. Sie sollen lediglich als Anhaltspunkt zum Einstieg in die Materie dienen.

Übungsblatt 1.Bsp 2.Bsp 3.Bsp 4.Bsp 5.Bsp
1. pdf x x x x o
2. pdf x x x x x
3. pdf x x x x o
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5. pdf pdf x x pdf x
6. pdf x pdf x x o
7. pdf x pdf pdf pdf o
8. pdf pdf x pdf pdf o
9. pdf pdf pdf pdf pdf o
10. pdf x pdf pdf x o
Test1 pdf x x x x o
Test2 pdf x x x x o
Test3a pdf x x x x o
Test3b pdf x x x x o

x...keine Kopie des Beispiels vorliegen
o...Bei diesem Übbungsblatt gab es dieses Bsp. nicht